若 $A = n^2 + 10$，$B = n + 1$，$n$ 是自然数，那么 $A, B$ 的最大公约数可能值有 ___ 个，最大的是 ___。

1. 用辗转相除法化简最大公约数表达式

根据最大公约数的性质，对于整式 $A = n^2 + 10$ 和 $B = n + 1$：
$A = (n + 1)(n - 1) + 11 = B(n - 1) + 11$
由辗转相除法（欧几里得算法）可知：
$\gcd(A, B) = \gcd(n^2 + 10, n + 1) = \gcd(n + 1, 11)$

2. 求最大公约数的可能值个数及最大值

因为 $11$ 是质数，所以 $\gcd(n + 1, 11)$ 的值只能是 $11$ 的正约数，即 $1$ 或 $11$。
检验取值：

• 当 $n = 0$ 时，$B = 1$，$A = 10$，此时 $\gcd(10, 1) = 1$；
• 当 $n = 10$ 时，$B = 11$，$A = 110$，此时 $\gcd(110, 11) = 11$。
  因此，最大公约数的可能值有 $2$ 个（$1$ 和 $11$），其中最大的是 $11$。