已知$a$为正整数，且$\sqrt{12a}$也为正整数，则$a$的最小值为 ___ .

1. 将根号下的数进行因数分解并化简

根据题意，$\sqrt{12a}$ 是正整数。
对被开方数进行因数分解：
$12a = 2^2 \times 3 \times a$
因此，$\sqrt{12a} = 2\sqrt{3a}$。

2. 分析要使二次根式的值为整数，被开方数所满足的条件

要使 $2\sqrt{3a}$ 为正整数，则 $3a$ 必须是一个完全平方数。
由于 $a$ 是正整数，要使 $3a$ 为完全平方数，则 $a$ 的质因数分解中，质因数 $3$ 的指数必须是奇数。
也就是说， $a$ 可以表示为 $3k^2$ 的形式（其中 $k$ 为正整数）。

3. 求出 $a$ 的最小值

当 $k = 1$ 时， $a$ 取得最小值：
$a = 3 \times 1^2 = 3$
此时 $12a = 36$，$\sqrt{36} = 6$ 为正整数，符合题意。
所以 $a$ 的最小值为 $3$。