设函数f(x)=x2x−1f(x)= \dfrac {x}{2x-1},则f(14011)+f(24011)+f(34011)+…+f(40104011)=f( \dfrac {1}{4011})+f( \dfrac {2}{4011})+f( \dfrac {3}{4011})+…+f( \dfrac {4010}{4011})= ___ .

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完整解法

1. 探究并证明函数 $f(x)$ 的对称性关系式 $f(x) + f(1-x) = 1$

因为函数 f(x)=x2x−1f(x) = \dfrac{x}{2x-1},我们可以尝试计算 f(x)+f(1−x)f(x) + f(1-x) 的值:

f(x)+f(1−x)=x2x−1+1−x2(1−x)−1=x2x−1+1−x1−2x=x2x−1−1−x2x−1=2x−12x−1=1\begin{aligned} f(x) + f(1-x) &= \frac{x}{2x-1} + \frac{1-x}{2(1-x)-1} \\ &= \frac{x}{2x-1} + \frac{1-x}{1-2x} \\ &= \frac{x}{2x-1} - \frac{1-x}{2x-1} \\ &= \frac{2x-1}{2x-1} \\ &= 1 \end{aligned}

由此可得,对于任意满足定义域的 xx,均有 f(x)+f(1−x)=1f(x) + f(1-x) = 1 恒成立。

2. 利用对称性对所求和式的项进行分组两两配对

所求和式为:
S=f(14011)+f(24011)+⋯+f(40104011)S = f\left(\frac{1}{4011}\right) + f\left(\frac{2}{4011}\right) + \dots + f\left(\frac{4010}{4011}\right)
观察自变量,发现首尾两项的自变量之和为 1:
14011+40104011=1\frac{1}{4011} + \frac{4010}{4011} = 1
根据第一步中得到的结论 f(x)+f(1−x)=1f(x) + f(1-x) = 1,可得:
f(14011)+f(40104011)=1f\left(\frac{1}{4011}\right) + f\left(\frac{4010}{4011}\right) = 1
同理可得,对于任意 k∈{1,2,…,2005}k \in \{1, 2, \dots, 2005\},都有:
f(k4011)+f(4011−k4011)=1f\left(\frac{k}{4011}\right) + f\left(\frac{4011-k}{4011}\right) = 1

3. 计算配对后的总和

和式中一共有 40104010 项,可两两配对成 20052005 对:

S=[f(14011)+f(40104011)]+[f(24011)+f(40094011)]+⋯+[f(20054011)+f(20064011)]=2005×1=2005\begin{aligned} S &= \left[f\left(\frac{1}{4011}\right) + f\left(\frac{4010}{4011}\right)\right] + \left[f\left(\frac{2}{4011}\right) + f\left(\frac{4009}{4011}\right)\right] + \dots + \left[f\left(\frac{2005}{4011}\right) + f\left(\frac{2006}{4011}\right)\right] \\ &= 2005 \times 1 \\ &= 2005 \end{aligned}

因此,所求代数式的值为 20052005。

答案

2005

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