1. 探究并证明函数 $f(x)$ 的对称性关系式 $f(x) + f(1-x) = 1$
因为函数 f(x)=2x−1x,我们可以尝试计算 f(x)+f(1−x) 的值:
f(x)+f(1−x)=2x−1x+2(1−x)−11−x=2x−1x+1−2x1−x=2x−1x−2x−11−x=2x−12x−1=1
由此可得,对于任意满足定义域的 x,均有 f(x)+f(1−x)=1 恒成立。
2. 利用对称性对所求和式的项进行分组两两配对
所求和式为:
S=f(40111)+f(40112)+⋯+f(40114010)
观察自变量,发现首尾两项的自变量之和为 1:
40111+40114010=1
根据第一步中得到的结论 f(x)+f(1−x)=1,可得:
f(40111)+f(40114010)=1
同理可得,对于任意 k∈{1,2,…,2005},都有:
f(4011k)+f(40114011−k)=1
3. 计算配对后的总和
和式中一共有 4010 项,可两两配对成 2005 对:
S=[f(40111)+f(40114010)]+[f(40112)+f(40114009)]+⋯+[f(40112005)+f(40112006)]=2005×1=2005
因此,所求代数式的值为 2005。