在平面直角坐标系中，抛物线$y=x^{2}+bx+5$的对称轴为直线$x=1.$若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+bx+5-t=0(t$为实数$)$在$-1< x< 4$的范围内有实数根，则$t$的取值范围为 ___ .

1. 确定抛物线的解析式

根据抛物线 $y = x^2 + bx + 5$ 的对称轴为直线 $x = 1$，由对称轴公式可得：
$-\dfrac{b}{2 \times 1} = 1$
解得 $b = -2$.
因此，抛物线的解析式为 $y = x^2 - 2x + 5$.

2. 将方程的有根问题转化为函数交点问题

将 $b = -2$ 代入方程，原方程变形为 $x^2 - 2x + 5 - t = 0$，即 $x^2 - 2x + 5 = t$.
方程在 $-1 < x < 4$ 的范围内有实数根，等价于二次函数 $y = x^2 - 2x + 5$ 的图象与水平直线 $y = t$ 在 $-1 < x < 4$ 范围内有交点.

3. 利用二次函数的单调性及最值求出参数t的范围

将二次函数解析式配方得：$y = (x - 1)^2 + 4$.
抛物线的顶点坐标为 $(1, 4)$，开口向上。
由于对称轴 $x = 1$ 在区间 $-1 < x < 4$ 内，所以当 $x = 1$ 时，函数取得最小值 $y_{\min} = 4$.
计算区间端点处的函数值：
当 $x = -1$ 时，$y = (-1 - 1)^2 + 4 = 8$；
当 $x = 4$ 时，$y = (4 - 1)^2 + 4 = 13$.
由于 $-1 < x < 4$，且对称轴 $x = 1$ 距离右端点 $4$ 较远，因此当 $x$ 在 $(-1, 4)$ 范围内变化时，函数值 $y$ 的取值范围为 $[4, 13)$.
要使直线 $y = t$ 与函数图象有交点，参数 $t$ 必须在函数的值域范围内，
即 $4 \leqslant t < 13$.