下列方程是关于$x$的一元二次方程的是$(\quad)$

A. $ax^{2}+bx+c=0$

B. $k^{2}x+5k+6=0$

C. $3x^{2}+2x+\dfrac{1}{x}=0$

D. $(k^{2}+3)x^{2}+2x+1=0$

1. 明确一元二次方程的定义

根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 $2$ 的整式方程叫做一元二次方程。其一般形式为 $Ax^2+Bx+C=0$（其中 $A \neq 0$）。因此判断一个方程是否为一元二次方程，需满足三个条件：

1. 是整式方程；
2. 只含有一个未知数；
3. 二次项系数不为 $0$。

2. 逐项分析各选项是否满足一元二次方程的条件

• 对于 A：$ax^2+bx+c=0$，当 $a=0$ 时它不是一元二次方程，由于没有限制 $a \neq 0$，故 A 错误；
• 对于 B：$k^2x+5k+6=0$，未知数 $x$ 的最高次数是 $1$，是一元一次方程，故 B 错误；
• 对于 C：$3x^2+2x+\dfrac{1}{x}=0$ 中含有分式项 $\dfrac{1}{x}$，属于分式方程，不是整式方程，故 C 错误；
• 对于 D：$(k^2+3)x^2+2x+1=0$ 是整式方程，且因为对任意实数 $k$ 都有 $k^2 \geqslant 0$，所以二次项系数 $k^2+3 \geqslant 3 \neq 0$ 恒成立，因此它一定是关于 $x$ 的一元二次方程，故 D 正确。

综上所述，正确选项为 D。