下列方程中，关于$x$的一元二次方程是$(\quad)$

A. $(x-1)(x-2)=2$

B. $\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{x}=2$

C. $ax^{2}+bx+c=0$

D. $3x^{2}-2y=0$

1. 明确一元二次方程的定义

一元二次方程必须满足以下三个条件：

1. 是整式方程（即分母中不含有未知数）；
2. 只含有一个未知数；
3. 未知数的最高次数是 $2$（且二次项系数不为 $0$）。

2. 逐一分析各选项并进行判断

• 对于 A 选项：$(x-1)(x-2)=2$ 展开整理得 $x^2-3x=0$，它是整式方程，只含有一个未知数 $x$，且最高次数是 $2$，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
• 对于 B 选项：$\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}=2$ 的分母中含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；
• 对于 C 选项：$ax^2+bx+c=0$ 中，若 $a=0$，则该方程不是一元二次方程，故本选项错误；
• 对于 D 选项：$3x^2-2y=0$ 中含有 $x$ 和 $y$ 两个未知数，是二元二次方程，故本选项错误。

综上所述，正确的选项为 A。