已知$A=\{x|{x}^{2}-2x-3\leqslant 0\},B=\{y|y= \sqrt{{x}^{2}+3}\}$，则$A∩B= ()$

A. $\left[1,,2\right]$

B. $\left[ \sqrt{2}, \sqrt{3}\right]$

C. $\left[ \sqrt{3},3\right]$

D. $\left[2,,3\right]$

1. 解一元二次不等式求出集合 $A$

对于集合 $A$，由 ${x}^{2}-2x-3 \leqslant 0$，可因式分解为 $(x-3)(x+1) \leqslant 0$，
解得 $-1 \leqslant x \leqslant 3$，
因此，集合 $A = [1, 3]$ 对应的区间为 $[-1, 3]$．

2. 求函数的值域以确定集合 $B$

对于集合 $B$，因为对任意实数 $x$ 都有 ${x}^{2} \geqslant 0$，
所以 ${x}^{2}+3 \geqslant 3$，
从而 $y = \sqrt{{x}^{2}+3} \geqslant \sqrt{3}$，
所以集合 $B = [\sqrt{3}, +\infty)$．

3. 求两个集合的交集 $A \cap B$

根据交集的定义：
$A \cap B = [-1, 3] \cap [\sqrt{3}, +\infty) = [\sqrt{3}, 3]$．
分析选项，可知选项 C 正确．