已知二次函数$y=-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+x$，若存在实数$m$，$n$使得当自变量$x$的取值范围是$m\leqslant x\leqslant n$时，函数值$y$的取值范围恰好是$3m\leqslant y\leqslant 3n$，则$m=$ ___ ，$n=$ ___ ．

1. 通过配方求出二次函数的对称轴与单调性

对二次函数 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+x$ 进行配方，得：
$y = -\dfrac{1}{2}(x^2-2x) = -\dfrac{1}{2}(x-1)^2 + \dfrac{1}{2}$
由此可知，该二次函数的图象开口向下，对称轴为 $x=1$。
因此，函数在区间 $(-\infty, 1]$ 上单调递增，在区间 $[1, +\infty)$ 上单调递减。

2. 确定自变量区间的单调性，并将值域问题转化为端点处的方程

由于二次函数的最大值为 $\dfrac{1}{2}$，由题意知函数值的上界 $3n \leqslant \dfrac{1}{2}$，从而 $n \leqslant \dfrac{1}{6}$。
因为 $m < n \leqslant \dfrac{1}{6} < 1$，所以区间 $[m, n]$ 完全处于该函数的单调递增区间 $(-\infty, 1]$ 内。
因此，当 $m \leqslant x \leqslant n$ 时，函数值 $y$ 的取值范围为 $[y(m), y(n)]$。
结合题意，函数值范围恰好是 $[3m, 3n]$，由此可得：
$y(m) = 3m \quad \text{且} \quad y(n) = 3n$

3. 建立方程并解出 $m$ 和 $n$ 的值

由上一步可知，$m$ 和 $n$ 是方程 $-\dfrac{1}{2}x^2+x = 3x$ 的两个不同的实数根。
化简该方程得：
$-\dfrac{1}{2}x^2 - 2x = 0 \implies x^2 + 4x = 0 \implies x(x+4) = 0$
解得 $x_1 = -4$，$x_2 = 0$。
因为 $m < n$，所以 $m = -4$，$n = 0$。