Lakshmi has 5 round coins of diameter 2 centimeters. She arranges the coins in 2 rows on a table top, as shown below, and wraps an elastic band tightly around them. In centimeters, what will be the length of the band ?

A. $\frac{1}{2}\pi + 10$

B. $\pi + 10$

C. $\frac{3}{2}\pi + 10$

D. $2\pi + 10$

E. $\frac{5}{2}\pi + 10$

1. 确定皮筋拉直部分的长度

将紧绷的皮筋分为直线段部分和贴合在硬币外边缘的圆弧部分。
每个相邻两枚相切硬币之间的直线段长度等于两圆心之间的距离，即等于硬币的直径 $d = 2\text{ cm}$。
根据选项中的常数项可知，直线段共有 5 段，其总长度为：
$5 \times 2 = 10\text{ cm}$

2. 计算皮筋拐角处所有圆弧的总长度

在硬币转角处，皮筋与硬币接触形成圆弧。由于每一段直线段均垂直于切点处的半径，皮筋在每个硬币拐角处绕过的圆心角恰好等于外围多边形在该顶点处的外角。
因为皮筋绕一圈形成一个封闭的凸多边形包络，所以这些外角之和为 $360^\circ$（即 $2\pi$ 弧度）。
因此，所有圆弧部分拼接起来恰好构成一个完整的圆周。
硬币的直径为 $2\text{ cm}$，半径 $r = 1\text{ cm}$，其周长为：
$C = 2\pi r = 2\pi \times 1 = 2\pi\text{ cm}$

3. 计算皮筋的总长度并选择正确选项

皮筋的总长度为直线部分长度与圆弧部分长度之和：
$\text{总长} = 2\pi + 10\text{ cm}$
对应选项 D。