已知二次函数的图象与$y$轴的交点坐标为$(0,a)$，与$x$轴的交点坐标为$(b,0)$和$(-b,0)$，若$a>0$，则函数解析式为$(\quad)$

A. $y=\dfrac{a}{b^{2}}x^{2}+a$

B. $y=-\dfrac{a}{b^{2}}x^{2}+a$

C. $y=-\dfrac{a}{b^{2}}x^{2}-a$

D. $y=\dfrac{a}{b^{2}}x^{2}-a$

1. 根据与 $x$ 轴的交点设出二次函数的解析式

因为二次函数图象与 $x$ 轴的交点坐标为 $(b,0)$ 和 $(-b,0)$，
所以可以设二次函数的解析式为交点式（两点式）：
$y = m(x - b)(x + b) \quad (m \neq 0)$
利用平方差公式展开，得：
$y = m(x^2 - b^2)$

2. 利用与 $y$ 轴的交点求出待定系数 $m$

因为二次函数图象与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,a)$，
将点 $(0,a)$ 代入函数解析式 $y = m(x^2 - b^2)$ 中，得：
$a = m(0^2 - b^2)$
即：
$a = -m b^2$
解得：
$m = -\frac{a}{b^2}$

3. 将系数代回并化简得到最终解析式

将 $m = -\frac{a}{b^2}$ 代回原设解析式，得：
$y = -\frac{a}{b^2}(x^2 - b^2)$
展开括号，得：
$y = -\frac{a}{b^2}x^2 + a$
故选项 B 正确。