有一个棱长为5厘米的正方体木块，它的每一个面都有一个穿透“十字形”的孔（如右图阴影部分），如果将其全部浸入黄漆后取出，晒干后，再切成棱长为1厘米的小正方体，这些小正方体未被染上黄漆的面积总和是 ___ 平方厘米．

1. 计算挖孔后剩余的棱长为1厘米的小正方体个数及总表面积

原正方体共包含 $5 \times 5 \times 5 = 125$ 个棱长为 $1\text{ cm}$ 的小正方体。
每个面上的“十字形”由 $5$ 个单位正方形组成，沿垂直方向穿透形成柱体，每个柱体体积为 $5 \times 5 = 25$ 个单位立方体。
利用三集合容斥原理计算被挖去的小正方体总数：

• 单个十字柱体的体积为 $25$；
• 任意两个垂直的十字柱体相交：中心 $3 \times 3$ 区域内重叠 $3 \times 3 = 9$ 个，加上十字各向外延伸的柱体在垂直方向相交的 $2$ 个，相交体积为 $9 + 2 = 11$ 个；
• 三个十字柱体共同相交：中心十字层有 $5$ 个，上下各延伸相交 $1$ 个，共 $5 + 2 = 7$ 个。

由容斥原理，被挖去的小正方体个数为：
$3 \times 25 - 3 \times 11 + 7 = 75 - 33 + 7 = 49$
因此，剩余的小正方体个数为：
$125 - 49 = 76$
这些小正方体若全部拆开，总表面积为：
$76 \times 6 \times (1 \times 1) = 456\text{ cm}^2$

2. 计算浸入黄漆后被染上黄漆的表面积总和

染上黄漆的面即为打孔后木块暴露在外和孔内的全部表面（外表面与内表面）：

1. 外表面积：
   原正方体有 $6$ 个面，每个面挖去一个面积为 $5\text{ cm}^2$ 的十字形孔，外表面积为：
   $6 \times (5 \times 5 - 5) = 6 \times 20 = 120\text{ cm}^2$

2. 内表面积（孔壁面积）：
   孔壁垂直于坐标轴分布。对沿某一个坐标轴方向的孔壁，穿透柱体侧面积扣除与其他两方向孔相交处孔洞后，沿该方向的内表面积为 $32\text{ cm}^2$。
   由三维对称性，三个方向的内表面积总和为：
   $32 \times 3 = 96\text{ cm}^2$

因此，被染上黄漆的表面积总和为：
$120 + 96 = 216\text{ cm}^2$

3. 求未被染上黄漆的面积总和

未被染上黄漆的面积等于所有现存小正方体的总表面积减去被染上黄漆的表面积：
$456 - 216 = 240\text{ cm}^2$