已知函数$f(x)=|x-3|+|x-2|+k$． $($Ⅰ$)$若$f(x)\geqslant 3$恒成立，求后的取值范围； $($Ⅱ$)$当$k=1$时，解不等式：$f(x) < 3x$．

1. 将恒成立问题转化为最值问题

由题意，若 $f(x)\geqslant 3$ 恒成立，即 $|x-3|+|x-2|+k\geqslant 3$ 恒成立．
变形为：$|x-3|+|x-2|\geqslant 3-k$ 对任意 $x\in\mathbb{R}$ 恒成立．
因此，只需满足 $(|x-3|+|x-2|)_{\min} \geqslant 3-k$．

2. 利用绝对值三角不等式求出最小值

因为对于任意实数 $x$，有：
$|x-3|+|x-2| \geqslant |(x-3)-(x-2)| = 1$
当且仅当 $2 \leqslant x \leqslant 3$ 时等号成立．
所以 $(|x-3|+|x-2|)_{\min} = 1$．

3. 求解参数 $k$ 的取值范围

所以 $1 \geqslant 3-k$，解得 $k\geqslant 2$．
所以 $k$ 的取值范围是 $[2, +\infty)$．

1. 代入 $k=1$ 得到具体的不等式

当 $k=1$ 时，不等式 $f(x) < 3x$ 化为：
$|x-3|+|x-2|+1 < 3x$

2. 讨论区间 $x \leqslant 2$ 并求解

当 $x \leqslant 2$ 时，原不等式可去绝对值化为：
$(3-x) + (2-x) + 1 < 3x \implies 6-2x < 3x \implies 5x > 6 \implies x > \dfrac{6}{5}$．
此时不等式的解集为 $\dfrac{6}{5} < x \leqslant 2$．

3. 讨论区间 $2 < x < 3$ 并求解

当 $2 < x < 3$ 时，原不等式可去绝对值化为：
$(3-x) + (x-2) + 1 < 3x \implies 2 < 3x \implies x > \dfrac{2}{3}$．
由于 $2 < x < 3$，故此时不等式的解集为 $2 < x < 3$．

4. 讨论区间 $x \geqslant 3$ 并求解

当 $x \geqslant 3$ 时，原不等式可去绝对值化为：
$(x-3) + (x-2) + 1 < 3x \implies 2x-4 < 3x \implies x > -4$．
由于 $x \geqslant 3$，故此时不等式的解集为 $x \geqslant 3$．

5. 求各区间解集的并集得到最终结果

综上所述，原不等式的解集为 $\left(\dfrac{6}{5}, 2\right] \cup (2, 3) \cup [3, +\infty) = \left(\dfrac{6}{5}, +\infty\right)$．