方程$x+y=6$在正整数范围内的解( )

A. 有无限多组

B. 只有四组

C. 只有五组

D. 无法确定

1. 将方程变形并确定未知数的取值范围

由方程 $x+y=6$，可得 $x=6-y$。
因为 $x, y$ 均为正整数，所以 $y \geqslant 1$ 且 $x = 6-y \geqslant 1$。
由 $6-y \geqslant 1$ 解得 $y \leqslant 5$。
因此，正整数 $y$ 的取值范围为 $1 \le y \le 5$。

2. 列出所有正整数解并得出结论

由于 $y$ 是正整数且 $1 \le y \le 5$，因此 $y$ 可取的值为 $1, 2, 3, 4, 5$。
当 $y$ 分别取这些值时，对应的 $x$ 的值分别为 $5, 4, 3, 2, 1$。
所以，该方程在正整数范围内的解共有 $5$ 组：
$\begin{cases} x=5 \\ y=1 \end{cases}$，$\begin{cases} x=4 \\ y=2 \end{cases}$，$\begin{cases} x=3 \\ y=3 \end{cases}$，$\begin{cases} x=2 \\ y=4 \end{cases}$，$\begin{cases} x=1 \\ y=5 \end{cases}$。
因此只有五组解。

故选：C。