求不等式 $\frac{5}{12} - \frac{x-1}{3} \leqslant \frac{x}{6}$ 的最小整数解.

1. 去分母与去括号，化简不等式

不等式两边同时乘以分母的最小公倍数 $12$：
$12 \left(\frac{5}{12} - \frac{x-1}{3}\right) \leqslant 12 \left(\frac{x}{6}\right)$
$5 - 4(x - 1) \leqslant 2x$
展开括号：
$5 - 4x + 4 \leqslant 2x$
$9 - 4x \leqslant 2x$

2. 移项并求解不等式

将含 $x$ 的项移到等式同一侧：
$9 \leqslant 6x$
两边同时除以 $6$：
$x \geqslant \frac{9}{6}$
即 $x \geqslant \frac{3}{2}$（即 $x \geqslant 1.5$）。

3. 依据解集范围确定最小整数解

因为 $x \geqslant 1.5$ 且 $x$ 为整数，大于等于 $1.5$ 的最小整数为 $2$。