将抛物线$y=x^{2}+4x+3$向左平移$1$个单位，再向下平移$3$个单位的所得抛物线的表达式是$(\quad)$

A. $y=(x+1)^{2}-4$

B. $y=-(x+1)^{2}-4$

C. $y=(x+3)^{2}-4$

D. $y=-(x+3)^{2}-4$

1. 将原抛物线解析式化为顶点式，确定其顶点坐标

原抛物线解析式为 $y=x^{2}+4x+3$。
利用配方法对其进行变形：
$y = (x^{2}+4x+4) - 4 + 3 = (x+2)^{2}-1$
因此，原抛物线的顶点坐标为 $(-2, -1)$。

2. 根据平移规律求出平移后的新顶点坐标

根据点平移的规律，将点 $(-2, -1)$ 向左平移 $1$ 个单位，再向下平移 $3$ 个单位，所得对应点的坐标为：
$(-2 - 1, -1 - 3) = (-3, -4)$

3. 根据新顶点坐标写出新抛物线的表达式并做出选择

由于平移不改变抛物线的形状与开口方向，所以二次项系数 $a=1$ 保持不变。
结合新顶点坐标 $(-3, -4)$，所得新抛物线的顶点式表达式为：
$y=(x+3)^{2}-4$
对比选项，C 选项符合要求。

故选：C。