一元二次方程$x^{2}=2x$的根是$(\quad)$

A. $0$

B. $2$

C. $0$和$2$

D. $0$和$-2$

1. 将方程右端项移到左端，使方程右端为0

将方程 $x^{2}=2x$ 进行移项，得：
$x^{2}-2x=0$

2. 提取公因式进行因式分解

提取公因式 $x$，变形为积的形式，得：
$x(x-2)=0$

3. 令每个因式为0，求出方程的解并确定正确选项

由 $x(x-2)=0$ 可得：
$x=0 \text{ 或 } x-2=0$
解得：
$x_{1}=0, x_{2}=2$
所以方程的根为 $0$ 和 $2$。

故选：C。