记 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $\frac{2S_n}{n} + n = 2a_n + 1$.

1. 去分母将已知条件转化为关于 $S_n$ 的整式关系

由已知 $\frac{2S_n}{n} + n = 2a_n + 1$，两边同乘 $n$ 得：
$2S_n + n^2 = 2n a_n + n$
即
$2S_n = 2n a_n + n - n^2 \quad (\text{式 } 1)$

2. 写出 $n-1$ 时的关系式并作差消去 $S_n$

当 $n \ge 2$ 时，由式 1 可得：
$2S_{n-1} = 2(n-1)a_{n-1} + (n-1) - (n-1)^2 \quad (\text{式 } 2)$
式 1 减去式 2，得：
$2(S_n - S_{n-1}) = 2n a_n - 2(n-1)a_{n-1} + 1 - [n^2 - (n-1)^2]$
因为 $S_n - S_{n-1} = a_n$，且 $n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1$，所以：
$2a_n = 2n a_n - 2(n-1)a_{n-1} + 1 - (2n - 1)$
化简得：
$2a_n = 2n a_n - 2(n-1)a_{n-1} + 2 - 2n$

3. 整理化简求出邻项差并得出结论

移项整理得：
$2(n-1)a_n - 2(n-1)a_{n-1} = 2(n-1)$
因为 $n \ge 2$，所以 $n - 1 \ne 0$，两边同除以 $2(n-1)$，得：
$a_n - a_{n-1} = 1$
这说明对于所有 $n \ge 2$，$a_n - a_{n-1}$ 均为常数 $1$。
因此，$\{a_n\}$ 是以 $1$ 为公差的等差数列。

1. 用首项 $a_1$ 表示各项，并利用等比中项求出 $a_1$

由第 (1) 问可知，$\{a_n\}$ 是公差 $d = 1$ 的等差数列，则：
$a_4 = a_1 + 3, \quad a_7 = a_1 + 6, \quad a_9 = a_1 + 8$
因为 $a_4$、$a_7$、$a_9$ 成等比数列，所以：
$a_7^2 = a_4 a_9$
代入得：
$(a_1 + 6)^2 = (a_1 + 3)(a_1 + 8)$
$a_1^2 + 12a_1 + 36 = a_1^2 + 11a_1 + 24$
解得：
$a_1 = 24 - 36 = -12$

2. 写出 $S_n$ 的表达式并求其在正整数集上的最小值

由首项 $a_1 = -12$、公差 $d = 1$，得通项公式为：
$a_n = -12 + (n - 1) \times 1 = n - 13$
前 $n$ 项和为：
$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(-12 + n - 13)}{2} = \frac{1}{2}(n^2 - 25n)$
配方得：
$S_n = \frac{1}{2}\left(n - \frac{25}{2}\right)^2 - \frac{625}{8}$
因为 $n \in \mathbb{Z}^+$，当 $n$ 最接近 $\frac{25}{2} = 12.5$ 时，$S_n$ 取得最小值，即 $n = 12$ 或 $n = 13$。
（或由于当 $n \le 12$ 时 $a_n < 0$，$a_{13} = 0$，当 $n \ge 14$ 时 $a_n > 0$，故前 $12$ 项或前 $13$ 项和最小）
代入计算：
$S_{12} = \frac{12 \times (12 - 25)}{2} = 6 \times (-13) = -78$
$S_{13} = \frac{13 \times (13 - 25)}{2} = 13 \times (-6) = -78$
所以 $S_n$ 的最小值为 $-78$。