观察一组数 13 \dfrac {1}{3},25 \dfrac {2}{5},37 \dfrac {3}{7},49 \dfrac {4}{9},511 \dfrac {5}{11},……根据这组数的规律,可推出第100100个数是 ___ .

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完整解法

1. 观察分子,找出分子的变化规律

观察这组数 13\dfrac{1}{3},25\dfrac{2}{5},37\dfrac{3}{7},49\dfrac{4}{9},511\dfrac{5}{11},…\dots 的分子:
第 11 个数的分子是 11,
第 22 个数的分子是 22,
第 33 个数的分子是 33,
…\dots
由此可得,第 nn 个数的分子是 nn。

2. 观察分母,找出分母的变化规律

观察这组数的分母:3,5,7,9,11,…3, 5, 7, 9, 11, \dots:
第 11 个数的分母是 3=2×1+13 = 2 \times 1 + 1,
第 22 个数的分母是 5=2×2+15 = 2 \times 2 + 1,
第 33 个数的分母是 7=2×3+17 = 2 \times 3 + 1,
…\dots
由此可得,第 nn 个数的分母是 2n+12n + 1。

3. 得出第 $n$ 个数的代数式,并求出第 $100$ 个数的值

由分子和分母的规律,可知第 nn 个数可表示为 n2n+1\dfrac{n}{2n + 1}。
将 n=100n = 100 代入上式,得:
第 100100 个数为 1002×100+1=100201\dfrac{100}{2 \times 100 + 1} = \dfrac{100}{201}。

答案

\dfrac{100}{201}

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