已知关于$x$，$y$的不等式组：$\begin{cases}{x-1>0}\\ {x-a\leqslant 0}\end{cases}$有以下说法：①若它的解集是$1< x\leqslant 4$，则$a=4$；②当$a=1$时，它无解；③若它的整数解只有$2$，$3$，$4$，则$4\leqslant a< 5$；④若它有解，则$a\geqslant 2.$其中所有正确说法的序号是$(\quad)$

A. ①②③

B. ①②④

C. ④

D. ②④

1. 确定两个不等式的解集形式

由第一个不等式 $x - 1 > 0$，得 $x > 1$；
由第二个不等式 $x - a \leqslant 0$，得 $x \leqslant a$。

2. 分析并判断说法①、②和④的正确性

根据两个不等式的解集：

• 对于①：若不等式组的解集是 $1 < x \leqslant 4$，结合 $x > 1$ 与 $x \leqslant a$，可知当且仅当 $a = 4$，因此说法①正确；
• 对于②：当 $a = 1$ 时，不等式组为 $\begin{cases} x > 1 \\ x \leqslant 1 \end{cases}$，显然无解，因此说法②正确；
• 对于④：只要 $a > 1$，不等式组即有解（解集为 $1 < x \leqslant a$），不一定需要 $a \geqslant 2$（例如当 $a = 1.5$ 时有解），因此说法④错误。

3. 分析并判断说法③的正确性，得出最终结论

对于③：若不等式组的整数解只有 $2, 3, 4$，
由于 $x > 1$，则整数解只能是 $2, 3, 4$。
这就要求 $4$ 在解集内，而 $5$ 不在解集内。
因此，不等式组的右边界 $a$ 必须满足：
$a \geqslant 4$ 且 $a < 5$，即 $4 \leqslant a < 5$。
所以说法③正确。

综上所述，正确的说法有①②③。
对应选项为 A。