已知$S_{n}$是公差不为零的等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，$4a_{1}a_{11}=(a_{2}+a_{4})^{2}$，且$a_{4}+a_{5}=25$，则$S_{20}=$___.

1. 根据已知条件列出关于首项 $a_1$ 和公差 $d$ 的关系式，求出 $a_1$ 与 $d$ 的比例关系

设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$ ($d \neq 0$)。
根据通项公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$，可得：
$a_2 = a_1 + d$
$a_4 = a_1 + 3d$
$a_{11} = a_1 + 10d$

代入已知条件 $4a_1 a_{11} = (a_2 + a_4)^2$ 得：
$4a_1(a_1 + 10d) = (2a_1 + 4d)^2$
展开并化简：
$4a_1^2 + 40a_1 d = 4a_1^2 + 16a_1 d + 16d^2$
$24a_1 d = 16d^2$
由于 $d \neq 0$，两边同除以 $8d$ 得：
$3a_1 = 2d \implies a_1 = \frac{2}{3}d$

2. 结合条件 $a_4 + a_5 = 25$ 求出 $a_1$ 和 $d$ 的具体值

将 $a_4 = a_1 + 3d$ 与 $a_5 = a_1 + 4d$ 代入 $a_4 + a_5 = 25$ 得：
$2a_1 + 7d = 25$
将 $a_1 = \frac{2}{3}d$ 代入上式：
$2\left(\frac{2}{3}d\right) + 7d = 25$
$\frac{25}{3}d = 25 \implies d = 3$
从而解得 $a_1 = \frac{2}{3} \times 3 = 2$。

3. 利用前 $n$ 项和公式计算 $S_{20}$ 的值

根据等差数列前 $n$ 项和公式 $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$，代入 $n=20$、$a_1=2$、$d=3$：
$S_{20} = \frac{20}{2} \times [2 \times 2 + (20 - 1) \times 3] = 10 \times (4 + 57) = 10 \times 61 = 610$