设随机变量$X～B(2,p)$，随机变量$Y～B(3,p)$，若$P(X\geqslant 1)=\dfrac{5}{9}$，则$D\left( \sqrt{3}Y+1\right) =$( )

A. $2$

B. $3$

C. $6$

D. $7$

1. 根据 $P(X \geqslant 1)$ 的值求出参数 $p$

因为随机变量 $X \sim B(2, p)$，所以 $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \mathrm{C}_2^0 (1-p)^2 = 1 - (1-p)^2$。
由题意知 $P(X \geqslant 1) = \dfrac{5}{9}$，
所以 $1 - (1-p)^2 = \dfrac{5}{9}$，解得 $(1-p)^2 = \dfrac{4}{9}$。
由于概率 $p \in [0, 1]$，故 $1-p = \dfrac{2}{3}$，解得 $p = \dfrac{1}{3}$。

2. 计算随机变量 $Y$ 的方差 $D(Y)$

因为 $Y \sim B(3, p)$ 且 $p = \dfrac{1}{3}$，
根据二项分布的方差公式，可得 $D(Y) = np(1-p) = 3 \times \dfrac{1}{3} \times \left(1 - \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{2}{3}$。

3. 根据方差的线性变换性质求出 $D(\sqrt{3}Y+1)$

由方差的性质 $D(aY+b) = a^2 D(Y)$，可得：
$D(\sqrt{3}Y+1) = (\sqrt{3})^2 D(Y) = 3 D(Y) = 3 \times \dfrac{2}{3} = 2$。
因此，正确答案为 A。