1. 判定函数 $f(x)$ 的单调性
任取 x1,x2∈R 且 x1<x2,则 x2−x1>0。
由题意 f(x+y)=f(x)+f(y)−2018 可得:
f(x2)−f(x1)=f(x2−x1+x1)−f(x1)=f(x2−x1)+f(x1)−2018−f(x1)=f(x2−x1)−2018。
因为当 x>0 时恒有 f(x)>2018,且 x2−x1>0,所以 f(x2−x1)>2018,即 f(x2−x1)−2018>0。
从而 f(x2)−f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1)。
因此,函数 f(x) 在 R 上是单调递增函数。
2. 确定最大值 $M$ 与最小值 $N$ 的表达式
因为 f(x) 在 R 上单调递增,所以在闭区间 [−2017,2017] 上,
当 x=2017 时,函数取得最大值 M=f(2017);
当 x=−2017 时,函数取得最小值 N=f(−2017)。
3. 利用特殊值求出 $M + N$ 的值
在关系式 f(x+y)=f(x)+f(y)−2018 中:
令 x=y=0,得 f(0)=f(0)+f(0)−2018,解得 f(0)=2018。
再令 y=−x,得 f(0)=f(x)+f(−x)−2018。
将 f(0)=2018 代入上式,得 2018=f(x)+f(−x)−2018,即 f(x)+f(−x)=4036。
因此,M+N=f(2017)+f(−2017)=4036。