定义在RR上的函数f(x)f(x)满足:对于任意x,y∈Rx,y\in R,f(x+y)=f(x)+f(y)−2018f(x+y)=f(x)+f(y)-2018且当x>0x > 0时恒有f(x)>2018f(x) > 2018,设MM、NN分别为f(x)f(x)在[−2017,2017][-2017,2017]的最大值与最小值,则M+NM+N的值为()()
A. 40364036
B. 40244024
C. 20182018
D. 20172017

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完整解法

1. 判定函数 $f(x)$ 的单调性

任取 x1,x2∈Rx_1, x_2 \in \mathbb{R} 且 x1<x2x_1 < x_2,则 x2−x1>0x_2 - x_1 > 0。
由题意 f(x+y)=f(x)+f(y)−2018f(x+y) = f(x) + f(y) - 2018 可得:
f(x2)−f(x1)=f(x2−x1+x1)−f(x1)=f(x2−x1)+f(x1)−2018−f(x1)=f(x2−x1)−2018f(x_2) - f(x_1) = f(x_2 - x_1 + x_1) - f(x_1) = f(x_2 - x_1) + f(x_1) - 2018 - f(x_1) = f(x_2 - x_1) - 2018。
因为当 x>0x > 0 时恒有 f(x)>2018f(x) > 2018,且 x2−x1>0x_2 - x_1 > 0,所以 f(x2−x1)>2018f(x_2 - x_1) > 2018,即 f(x2−x1)−2018>0f(x_2 - x_1) - 2018 > 0。
从而 f(x2)−f(x1)>0f(x_2) - f(x_1) > 0,即 f(x2)>f(x1)f(x_2) > f(x_1)。
因此,函数 f(x)f(x) 在 R\mathbb{R} 上是单调递增函数。

2. 确定最大值 $M$ 与最小值 $N$ 的表达式

因为 f(x)f(x) 在 R\mathbb{R} 上单调递增,所以在闭区间 [−2017,2017][-2017, 2017] 上,
当 x=2017x = 2017 时,函数取得最大值 M=f(2017)M = f(2017);
当 x=−2017x = -2017 时,函数取得最小值 N=f(−2017)N = f(-2017)。

3. 利用特殊值求出 $M + N$ 的值

在关系式 f(x+y)=f(x)+f(y)−2018f(x+y) = f(x) + f(y) - 2018 中:
令 x=y=0x = y = 0,得 f(0)=f(0)+f(0)−2018f(0) = f(0) + f(0) - 2018,解得 f(0)=2018f(0) = 2018。
再令 y=−xy = -x,得 f(0)=f(x)+f(−x)−2018f(0) = f(x) + f(-x) - 2018。
将 f(0)=2018f(0) = 2018 代入上式,得 2018=f(x)+f(−x)−20182018 = f(x) + f(-x) - 2018,即 f(x)+f(−x)=4036f(x) + f(-x) = 4036。
因此,M+N=f(2017)+f(−2017)=4036M + N = f(2017) + f(-2017) = 4036。

答案

A

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