对于有理数$a$、$b$，定义$\min \{a , b\}$的含义为：当$a < b$时，$\min \{a , b\}=a$，例如：$\min \{1 , -2\}=-2.$已知$\min \{ \sqrt {30} , a\}=a$，$\min \{ \sqrt {30} , b\}= \sqrt {30}$，且$a$和$b$为两个连续正整数，则$a-b$的立方根为$(\:\:\:\:)$

A. $-1$

B. $1$

C. $-2$

D. $2$

1. 根据新定义确定 $a$、$\sqrt{30}$ 和 $b$ 的大小关系

根据定义，当 $a < b$ 时，$\min\{a, b\} = a$。
已知 $\min\{\sqrt{30}, a\} = a$，则 $a \leqslant \sqrt{30}$；
已知 $\min\{\sqrt{30}, b\} = \sqrt{30}$，则 $\sqrt{30} \leqslant b$。
因为 $\sqrt{30}$ 是无理数，而 $a, b$ 是有理数（且为连续正整数），所以可得：
$a < \sqrt{30} < b$

2. 估算 $\sqrt{30}$ 的范围并求出 $a$ 和 $b$ 的值

因为 $25 < 30 < 36$，即 $\sqrt{25} < \sqrt{30} < \sqrt{36}$，
所以 $5 < \sqrt{30} < 6$。
又因为 $a$ 和 $b$ 是两个连续的正整数，且 $a < \sqrt{30} < b$，
因此 $a = 5$，$b = 6$。

3. 计算 $a-b$ 的立方根

将 $a = 5$，$b = 6$ 代入 $a - b$ 中，得：
$a - b = 5 - 6 = -1$
所以 $a - b$ 的立方根为：
$\sqrt[3]{-1} = -1$
故选 A。