已知$2a-1$的算术平方根是$3$，$3a+b-1$的平方根是$±4$，$c$是$\sqrt{13}$的整数部分，求$a+2b-c^{2}$的平方根。

1. 由 $2a-1$ 的算术平方根求出 $a$ 的值

因为 $2a-1$ 的算术平方根是 $3$，
根据算术平方根的定义可得：
$2a-1 = 3^2 = 9$
解得：
$a = 5$

2. 由 $3a+b-1$ 的平方根求出 $b$ 的值

因为 $3a+b-1$ 的平方根是 $\pm 4$，
根据平方根的定义可得：
$3a+b-1 = (\pm 4)^2 = 16$
将 $a = 5$ 代入方程，得：
$3 \times 5 + b - 1 = 16$
解得：
$b = 2$

3. 估算 $\sqrt{13}$ 的大小并确定其整数部分 $c$ 的值

因为 $9 < 13 < 16$
所以 $3 < \sqrt{13} < 4$
因此，$\sqrt{13}$ 的整数部分 $c = 3$。

4. 将 $a, b, c$ 的值代入代数式进行计算

将 $a = 5$，$b = 2$，$c = 3$ 代入代数式 $a+2b-c^2$，得：
$a+2b-c^2 = 5 + 2 \times 2 - 3^2 = 5 + 4 - 9 = 0$

5. 求出代数式值的平方根

由上一步可知，代数式的值为 $0$。
因为 $0$ 的平方根是 $0$，
所以 $a+2b-c^2$ 的平方根是 $0$。