设实数$a$，$b$，$c$满足$a+b+c=3$，${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4$，则$\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2+c}+\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2+a}+\dfrac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}{2+b}=$___．

1. 利用已知条件变形代数式中的分子

由已知条件 $a^2+b^2+c^2=4$，我们可以得到如下等式：
$a^2+b^2 = 4-c^2$
$b^2+c^2 = 4-a^2$
$a^2+c^2 = 4-b^2$

2. 将分子变形代入目标式，并利用平方差公式化简分式

将步骤1中的变形代入待求的代数式中，得到：
$\frac{a^2+b^2}{2+c}+\frac{b^2+c^2}{2+a}+\frac{a^2+c^2}{2+b} = \frac{4-c^2}{2+c}+\frac{4-a^2}{2+a}+\frac{4-b^2}{2+b}$
因为 $a, b, c$ 满足已知方程组，若某个变量（如 $c$）等于 $-2$，则有 $a+b=5$ 且 $a^2+b^2=0$，这在实数范围内无解。因此 $a \neq -2, b \neq -2, c \neq -2$，分母均不为 $0$。
利用平方差公式 $4-x^2 = (2-x)(2+x)$，对分子进行因式分解并约分化简：
$\frac{(2-c)(2+c)}{2+c} + \frac{(2-a)(2+a)}{2+a} + \frac{(2-b)(2+b)}{2+b} = (2-c) + (2-a) + (2-b)$

3. 代入已知和的值求得最终结果

将化简后的多项式进行合并同类项与重组：
$(2-c) + (2-a) + (2-b) = 6 - (a+b+c)$
将已知条件 $a+b+c=3$ 代入，得：
$6 - 3 = 3$
因此，所求代数式的值为 $3$。