已知二次函数$y{=}(x{-}h)^{2}{+}1(h$为常数$)$，在自变量$x$的值满足$1{\leqslant }x{\leqslant }3$的情况下，与其对应的函数值$y$的最小值为$5$，则$h$的值为$({ })$

A. $1$或${-}5$

B. ${-}1$或$5$

C. $1$或${-}3$

D. $1$或$3$

1. 确定二次函数在给定区间取得最小值的位置与对称轴的关系

已知二次函数 $y=(x-h)^2+1$ 的图象开口向上，其顶点坐标为 $(h, 1)$。由于当 $x=h$ 时，该函数的最小值为 $1$；而在限制区间 $1 \leqslant x \leqslant 3$ 内对应的函数最小值是 $5 > 1$，所以对称轴 $x=h$ 不能在区间 $[1, 3]$ 内。因此，$h < 1$ 或 $h > 3$。

2. 分析第一种情况（对称轴在区间左侧）并求解 $h$

若 $h < 1$，当 $1 \leqslant x \leqslant 3$ 时，对称轴 $x=h$ 在区间的左侧。根据二次函数的性质，在对称轴右侧函数单调递增，故当 $x=1$ 时，$y$ 取得最小值 $5$。代入得：
$(1-h)^2+1=5$
$(1-h)^2=4$
解得 $h=-1$ 或 $h=3$。因为限制条件为 $h < 1$，故舍去 $h=3$，所以 $h=-1$。

3. 分析第二种情况（对称轴在区间右侧）并求解 $h$

若 $h > 3$，当 $1 \leqslant x \leqslant 3$ 时，对称轴 $x=h$ 在区间的右侧。根据二次函数的性质，在对称轴左侧函数单调递减，故当 $x=3$ 时，$y$ 取得最小值 $5$。代入得：
$(3-h)^2+1=5$
$(3-h)^2=4$
解得 $h=5$ 或 $h=1$。因为限制条件为 $h > 3$，故舍去 $h=1$，所以 $h=5$。

4. 得出最终结论

综上所述，$h$ 的值为 $-1$ 或 $5$。
结合选项，应选：B。