小王和小明玩一个游戏，规则如下：把分别写有$1$、$2$、$3$、$4$的四张卡片全都放入一个暗盒中，每次摇匀后每人摸出一张.算出这两张上的数字之“和”；当“和”为奇数时，小王胜，当“和”为偶数时，小明胜，玩了一会，小王对小明说：“好象这个游戏不公平，但我说不明道理.” (1)这个游戏真的不公平吗？对谁有利？请你说明道理？ (2)若真的不公平，能否只改动一张卡片上的数字，使该游戏公平？请把你的改动方案表达在下面，供同学们分享．

1. 列出两人各抽一张卡片的所有可能结果并计算两数之和

从写有 $1$、$2$、$3$、$4$ 的四张卡片中每人摸出一张，所有可能的结果（不计先后顺序）共有 $6$ 种：

• 摸出 $(1, 2)$，和为 $1 + 2 = 3$（奇数）；
• 摸出 $(1, 3)$，和为 $1 + 3 = 4$（偶数）；
• 摸出 $(1, 4)$，和为 $1 + 4 = 5$（奇数）；
• 摸出 $(2, 3)$，和为 $2 + 3 = 5$（奇数）；
• 摸出 $(2, 4)$，和为 $2 + 4 = 6$（偶数）；
• 摸出 $(3, 4)$，和为 $3 + 4 = 7$（奇数）．

所有可能的等可能结果总数为 $6$ 种．

2. 分别计算两人的获胜概率并作出判断

在这 $6$ 种情况中：

• 和为奇数的情况有 $4$ 种，因此小王获胜的概率为 $P(\text{小王胜}) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$；
• 和为偶数的情况有 $2$ 种，因此小明获胜的概率为 $P(\text{小明胜}) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$．

因为 $\dfrac{2}{3} > \dfrac{1}{3}$，两人的获胜概率不相等，所以这个游戏不公平，对小王有利．

1. 分析游戏公平所需的结果数量与奇偶性特征

要使游戏公平，需使小王和小明获胜的概率均为 $\dfrac{1}{2}$，即在 $6$ 种组合中，和为奇数与和为偶数各占 $3$ 种．
两数之和为奇数，当且仅当两数“一奇一偶”．
设修改后四张卡片中有 $m$ 张奇数、$(4 - m)$ 张偶数，则两张卡片为一奇一偶的组合数为 $m(4 - m)$．
令 $m(4 - m) = 3$，解得 $m = 1$ 或 $m = 3$．
原本四张卡片为 $2$ 奇 $2$ 偶（$m = 2$），只需改变其中一张卡片的奇偶性，即可使奇数卡片张数变为 $1$ 或 $3$．

2. 给出具体的改动方案并验证

因此可以通过只改动一张卡片上的数字使游戏公平，具体方案如下（任选其一即可）：

• 方案一（使奇数卡片变为 $3$ 张）：将偶数卡片 $2$ 改为奇数 $5$（或 $7$ 等），此时四张卡片为 $1$、$3$、$4$、$5$．
  验证：和为奇数的组合有 $(1,4),(3,4),(4,5)$ 共 $3$ 种；和为偶数的组合有 $(1,3),(1,5),(3,5)$ 共 $3$ 种，概率各为 $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$，游戏公平．
• 方案二（使奇数卡片变为 $1$ 张）：将奇数卡片 $1$ 改为偶数 $6$（或 $0$ 等），此时四张卡片为 $2$、$3$、$4$、$6$．
  验证：和为奇数的组合有 $(2,3),(3,4),(3,6)$ 共 $3$ 种；和为偶数的组合有 $(2,4),(2,6),(4,6)$ 共 $3$ 种，概率各为 $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$，游戏公平．