计算：$\ \dfrac{1}{a-2}+\dfrac{2}{a+1}-\dfrac{2}{a-1}-\dfrac{1}{a+2}$的值为$(\quad)$

A. $\ \dfrac{20}{(a^{2}-4){(a}^{2}-1)}$

B. $\ \dfrac{12}{(a^{2}-4){(a}^{2}-1)}{\ \ }$

C. $\ \dfrac{20}{(a^{2}-4)(a^{2}+1)}$

D. $\ \dfrac{12}{(a^{2}+4){(a}^{2}-1)}$

1. 合理分组，简化计算

为了简化计算，可以将分母具有对称性或相关联的项进行分组结合：
原式可以变形为：
$\left(\dfrac{1}{a-2}-\dfrac{1}{a+2}\right)+\left(\dfrac{2}{a+1}-\dfrac{2}{a-1}\right)$

2. 分别通分并计算两组分式的值

计算第一组：
$\dfrac{1}{a-2}-\dfrac{1}{a+2} = \dfrac{(a+2)-(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \dfrac{4}{a^2-4}$
计算第二组：
$\dfrac{2}{a+1}-\dfrac{2}{a-1} = \dfrac{2(a-1)-2(a+1)}{(a+1)(a-1)} = \dfrac{-4}{a^2-1}$
将两部分相加，原式化简为：
$\dfrac{4}{a^2-4} - \dfrac{4}{a^2-1}$

3. 通分合并最终结果

将两项进行通分合并：
$\dfrac{4(a^2-1) - 4(a^2-4)}{(a^2-4)(a^2-1)} = \dfrac{4a^2 - 4 - 4a^2 + 16}{(a^2-4)(a^2-1)} = \dfrac{12}{(a^2-4)(a^2-1)}$
对照选项，正确答案为 B。