长沙市某商业公司要将本公司$100$吨时令商品运往某地销售，经与运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共$6$辆，用这$6$辆汽车一次将商品全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种商品$16$吨，每辆乙型汽车最多能装该种商品$18$吨.已知租用$1$辆甲型汽车和$2$辆乙型汽车共需费用$2 500$元；租用$2$辆甲型汽车和$1$辆乙型汽车共需费用$2 450$元， 且同一型号汽车每辆租车费用相同． (1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？ (2)若该商业公司计划此次租车费用不超过$5 000$元，通过计算求出该公司有几种租车方案？请你设计出来，并求出最低的租车费用． (3)该商业公司生产的此时令商品每件成本为$15$元，经过市场调研发现，这种商品在未来$20$天内的日销售量$m($件$)$与时间$t($天$)$的有如下关系：$m=-2t+100$；该商品每天的价格$y($元$∕$件$)$与时间$t($天$)$的函数关系式为：$y= \dfrac{1}{4}t+20(1\leqslant t\leqslant 20)$其中$t$取整数；在实际销售的前$20$天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠$a$元利润$(a < 4)$给希望工程.公司通过销售记录发现，前$20$天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间$t($天$)$的增大而增大$($含第$20$天的日销售利润和第$19$天的日销售利润相等的情况$)$，求$a$的最小值．

1. 设出未知数并根据题意建立二元一次方程组

设租用一辆甲型汽车的费用是 $x$ 元，租用一辆乙型汽车的费用是 $y$ 元。
根据“租用 $1$ 辆甲型汽车和 $2$ 辆乙型汽车共需费用 $2500$ 元；租用 $2$ 辆甲型汽车和 $1$ 辆乙型汽车共需费用 $2450$ 元”可得方程组：
$\begin{cases} x + 2y = 2500 \\ 2x + y = 2450 \end{cases}$

2. 解二元一次方程组求出单辆汽车的租赁费用

由第一个方程得 $x = 2500 - 2y$，代入第二个方程中得：
$2(2500 - 2y) + y = 2450$
$5000 - 4y + y = 2450$
$-3y = -2550 \Rightarrow y = 850$
将 $y = 850$ 代入 $x = 2500 - 2y$ 得：
$x = 2500 - 1700 = 800$
所以租用一辆甲型汽车的费用是 $800$ 元，一辆乙型汽车的费用是 $850$ 元。

1. 设变量并列出一元一次不等式组

设租用甲种型号的汽车 $z$ 辆，则租用乙种型号的汽车 $(6-z)$ 辆。
根据“一次性运走 $100$ 吨商品”和“租车费用不超过 $5000$ 元”建立不等式组：
$\begin{cases} 16z + 18(6-z) \ge 100 \\ 800z + 850(6-z) \le 5000 \end{cases}$

2. 解一元一次不等式组确定车辆数范围

解第一个不等式：
$16z + 108 - 18z \ge 100 \Rightarrow -2z \ge -8 \Rightarrow z \le 4$
解第二个不等式：
$800z + 5100 - 850z \le 5000 \Rightarrow -50z \le -100 \Rightarrow z \ge 2$
取交集得：$2 \le z \le 4$。

3. 讨论确定具体方案并计算最低费用

因为车辆数 $z$ 必须为整数，所以 $z$ 的可能取值为 $2, 3, 4$。
共有以下 $3$ 种方案：

• 方案一：租用甲型汽车 $2$ 辆，乙型汽车 $4$ 辆。费用为：$2 \times 800 + 4 \times 850 = 5000$（元）；
• 方案二：租用甲型汽车 $3$ 辆，乙型汽车 $3$ 辆。费用为：$3 \times 800 + 3 \times 850 = 4950$（元）；
• 方案三：租用甲型汽车 $4$ 辆，乙型汽车 $2$ 辆。费用为：$4 \times 800 + 2 \times 850 = 4900$（元）。
  因为 $4900 < 4950 < 5000$，所以最低租车费用为 $4900$ 元。

1. 用自变量 $t$ 和参数 $a$ 表示日销售利润 $w$

依题意，每件商品的销售利润为：$y - 15 - a = \left(\frac{1}{4}t + 20\right) - 15 - a = \frac{1}{4}t + 5 - a$（元）。
扣除捐赠后的日销售利润 $w$ 与时间 $t$ 的函数关系式为：
$w = m(y - 15 - a) = (-2t + 100)\left(\frac{1}{4}t + 5 - a\right)$
$w = -\frac{1}{2}t^2 + (15 + 2a)t + 500 - 100a$

2. 分析二次函数的对称轴及单调性，列出关于 $a$ 的不等式

函数 $w = -\frac{1}{2}t^2 + (15 + 2a)t + 500 - 100a$ 是开口向下的抛物线，其对称轴为直线 $t = 15 + 2a$。
由于在前 $20$ 天中，日销售利润随时间 $t$ 的增大而增大，且含第 $20$ 天和第 $19$ 天利润相等的情况，
这说明在 $1 \le t \le 20$ 的整数区间内，函数呈单调递增趋势（允许最后一项取等），
因此，对称轴必须在第 $19$ 天和第 $20$ 天的中点及右侧，即：
$15 + 2a \ge \frac{19 + 20}{2} = 19.5$

3. 求解不等式得出 $a$ 的最小值

由 $15 + 2a \ge 19.5$ 得：
$2a \ge 4.5$
$a \ge 2.25 = \frac{9}{4}$
又因为 $a < 4$，所以 $a$ 的取值范围为 $\frac{9}{4} \le a < 4$。
故 $a$ 的最小值为 $\frac{9}{4}$。