一个正偶数的算术平方根是$a$，那么与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是$()$

A. $a+2$

B. $a^{2}+2$

C. $\sqrt {a^{2}+2}$

D. $\sqrt {a+2}$

1. 根据算术平方根的定义表示出该正偶数

设这个正偶数为 $x$。
因为这个正偶数的算术平方根是 $a$，
所以根据算术平方根与平方的关系，该正偶数为：
$x = a^2$

2. 表示出相邻的下一个正偶数

因为相邻的两个偶数相差 $2$，
所以与正偶数 $a^2$ 相邻的下一个正偶数为：
$a^2 + 2$

3. 求下一个正偶数的算术平方根并确定选项

因此，下一个正偶数 $a^2 + 2$ 的算术平方根为：
$\sqrt{a^2 + 2}$
对照选项，C项符合题意。

故选：C。