如图，在直角 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^\circ$, $AC = BC$, $D$ 是 $AB$ 的中点，$P$ 是 $\triangle ACD$ 内一点，连接 $PA, PB, PC, PD$，$PC = 1, PD = 2, PA = 3$。

1. 分析基本图形性质并构造旋转辅助线

在 Rt$\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^\circ$，$AC = BC$，$D$ 是 $AB$ 的中点，
由等腰直角三角形的性质可知 $CD \perp AB$，$AD = CD = BD$，且 $\angle ADC = 90^\circ$。
将 $\triangle DAP$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $90^\circ$，得到 $\triangle DCP'$，连接 $PP'$。
由旋转的性质可知：
$DP' = DP = 2, \quad CP' = AP = 3, \quad \angle PDP' = 90^\circ$

2. 计算 $\triangle PDP'$ 的边长及内角

在 Rt$\triangle PDP'$ 中，$\angle PDP' = 90^\circ$，$DP = DP' = 2$，
则 $\triangle PDP'$ 为等腰直角三角形，
$PP' = \sqrt{DP^2 + DP'^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$
$\angle DPP' = 45^\circ$

3. 利用勾股定理逆定理判定 $\angle CPP'$ 并求出 $\angle CPD$

在 $\triangle PCP'$ 中，$PC = 1$，$PP' = 2\sqrt{2}$，$CP' = 3$。
计算三边的平方关系：
$PC^2 + PP'^2 = 1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 8 = 9$
$CP'^2 = 3^2 = 9$
因为 $PC^2 + PP'^2 = CP'^2$，所以 $\triangle PCP'$ 是以 $\angle CPP'$ 为直角的直角三角形，即 $\angle CPP' = 90^\circ$。
结合图形位置关系，点 $P'$ 与点 $P$ 分居 $CD$ 两侧，
$\angle CPD = \angle CPP' + \angle DPP' = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$

1. 构造旋转将线段 $PB$ 转化

因为 $DB = DC$ 且 $CD \perp AB$（即 $\angle BDC = 90^\circ$），
将 $\triangle DPB$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90^\circ$，使 $DB$ 与 $DC$ 重合，得到 $\triangle DP''C$，连接 $PP''$。
由旋转性质可知：
$DP'' = DP = 2, \quad P''C = PB, \quad \angle PDP'' = 90^\circ$

2. 证明 $C, P, P''$ 三点共线并求出 $PB$

在 Rt$\triangle PDP''$ 中，$DP = DP'' = 2$，$\angle PDP'' = 90^\circ$，
所以 $\triangle PDP''$ 是等腰直角三角形，得 $PP'' = 2\sqrt{2}$，$\angle DPP'' = 45^\circ$。
由 (1) 可知 $\angle CPD = 135^\circ$。
因此：
$\angle CPP'' = \angle CPD + \angle DPP'' = 135^\circ + 45^\circ = 180^\circ$
即点 $C, P, P''$ 在同一条直线上。
所以 $P''C = PC + PP'' = 1 + 2\sqrt{2}$。
故 $PB = P''C = 1 + 2\sqrt{2}$。