已知集合 $A = \{x \mid 1 \leqslant x \leqslant 4\}$，集合 $B = \{x \mid a < x < a + 5\}$．若 $A \subseteq B$，求实数 $a$ 的取值范围．

1. 根据子集包含关系 $A \subseteq B$ 确定区间端点的大小关系

已知 $A = \{x \mid 1 \leqslant x \leqslant 4\}$（闭区间 $[1, 4]$），$B = \{x \mid a < x < a + 5\}$（开区间 $(a, a+5)$）。
若 $A \subseteq B$，则 $A$ 中的所有元素都必须属于 $B$。
因为 $1 \in A$，所以 $1 \in B$，得 $a < 1$；
因为 $4 \in A$，所以 $4 \in B$，得 $a + 5 > 4$。

2. 联立不等式组求出 $a$ 的取值范围

联立不等式组：
$\begin{cases} a < 1 \\ a + 5 > 4 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} a < 1 \\ a > -1 \end{cases}$
即 $-1 < a < 1$。