已知 $f(x) = ax + \frac{b}{x}$，$f(1) = 1$，$f(2) = 5$，求常数 $a$ 和 $b$。

1. 根据已知函数值代入解析式，建立关于 $a$ 和 $b$ 的二元一次方程组

将 $x = 1$ 和 $x = 2$ 分别代入 $f(x) = ax + \frac{b}{x}$：

由 $f(1) = 1$ 得：
$a + b = 1 \quad \text{①}$

由 $f(2) = 5$ 得：
$2a + \frac{b}{2} = 5 \quad \text{②}$

2. 求解二元一次方程组，得到 $a$ 和 $b$ 的值

将方程 ② 两边同乘以 $2$ 得：
$4a + b = 10 \quad \text{③}$

用方程 ③ 减去方程 ① 得：
$3a = 9 \implies a = 3$

将 $a = 3$ 代入方程 ① 得：
$3 + b = 1 \implies b = -2$

所以常数 $a = 3$，$b = -2$。