已知集合 $A = \{x \mid 1 \leqslant x \leqslant 4\}$，集合 $B = \{x \mid x > a\}$．若 $A \subseteq B$，求实数 $a$ 的取值范围．

1. 根据集合包含关系的定义转化条件

由题意，集合 $A = \{x \mid 1 \leqslant x \leqslant 4\} = [1, 4]$，集合 $B = \{x \mid x > a\} = (a, +\infty)$．
因为 $A \subseteq B$，所以集合 $A$ 中的每一个元素都必须属于集合 $B$，即对于任意 $x \in [1, 4]$，都有 $x > a$．

2. 比较端点值并检验边界确定 $a$ 的取值范围

要使 $[1, 4] \subseteq (a, +\infty)$，只需 $a$ 小于集合 $A$ 的最小值 $1$．
检验端点：若 $a = 1$，则 $B = (1, +\infty)$，此时 $1 \in A$ 但 $1 \notin B$，不满足 $A \subseteq B$；
故必须满足 $a < 1$．
所以实数 $a$ 的取值范围是 $a < 1$．