烧一壶水，假设冷水的水温为$20℃$，烧水时每分钟可使水温提高$8℃$，烧了$x\left(0\leqslant x\leqslant 10\right)$分钟后水壶的水温为$y℃$，当水开时就不再烧了． $(1)y$与$x$的关系式为___. (2)当$x=5$时，$y=$；当$x=$时，$y=48.(3)$当时间$x$由$1$分钟变化到$10$分钟时，水温$y$由$℃$变化到$℃.$

1. 根据实际背景列出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式

由题意，冷水的初始温度为 $20^\circ\text{C}$，烧水时每分钟水温提高 $8^\circ\text{C}$。
在烧了 $x$ 分钟后，温度升高的度数为 $8x^\circ\text{C}$。
因此，此时的水温 $y$ 等于初始温度加上升高的温度，即：
$y = 8x + 20$。
已知自变量范围为 $0 \leqslant x \leqslant 10$，因此 $y$ 与 $x$ 的关系式为 $y = 8x + 20$。

1. 求 $x=5$ 时的 $y$ 值

复用第 (1) 问中求得的关系式 $y = 8x + 20$。
当 $x = 5$ 时，代入关系式得：
$y = 8 \times 5 + 20 = 40 + 20 = 60$。

2. 求 $y=48$ 时的 $x$ 值

当 $y = 48$ 时，代入关系式得：
$48 = 8x + 20$。
解该一元一次方程得：
$8x = 48 - 20$
$8x = 28$
$x = 3.5$。

1. 求 $x=1$ 和 $x=10$ 对应的 $y$ 值，并确定水温的变化范围

复用第 (1) 问中求得的关系式 $y = 8x + 20$。
当 $x = 1$ 时，代入关系式得：
$y = 8 \times 1 + 20 = 28$。
当 $x = 10$ 时，代入关系式得：
$y = 8 \times 10 + 20 = 100$。
由于一次函数 $y = 8x + 20$ 的斜率 $8 > 0$，所以 $y$ 随 $x$ 的增大而增大。
因此，当时间 $x$ 由 $1$ 分钟变化到 $10$ 分钟时，水温 $y$ 由 $28^\circ\text{C}$ 变化到 $100^\circ\text{C}$。