绝对值大于$1$而小于$3$的整数是( )

A. $±1$

B. $±2$

C. $±3$

D. $±4$

1. 将文字条件转化为绝对值的不等式关系

设符合条件的整数为 $x$，根据题意，其绝对值大于 $1$ 且小于 $3$，可以表示为：
$1 < |x| < 3$

2. 确定绝对值所能取到的整数值

因为 $x$ 是整数，所以其绝对值 $|x|$ 也是整数。在 $1$ 和 $3$ 之间的整数只有 $2$，因此：
$|x| = 2$

3. 求出对应的整数值并确定选项

由 $|x| = 2$ 可得 $x = 2$ 或 $x = -2$，即 $x = \pm 2$。
因此，绝对值大于 $1$ 而小于 $3$ 的整数是 $\pm 2$。

故选：B。