$m$为整数，方程组$\begin{cases} 2x+my=4\ \\ x+4y=1\ \\ \end{cases}$有整数解，则这样的整数$m$的个数有( )

A. $3$个

B. $4$个

C. $5$个

D. $6$个

1. 通过消元法，用含参数 $m$ 的代数式表示未知数 $x$ 和 $y$

已知方程组：
$\begin{cases} 2x+my=4 & \text{①} \\ x+4y=1 & \text{②} \end{cases}$
由②得：
$x = 1 - 4y \quad \text{③}$
将③代入①中，得：
$2(1 - 4y) + my = 4$
化简整理得：
$(m - 8)y = 2$
因为方程组有整数解，所以 $m - 8 \neq 0$，解得：
$y = \frac{2}{m - 8}$
将 $y$ 代入③，得：
$x = 1 - \frac{8}{m - 8} = \frac{m - 16}{m - 8}$

2. 根据未知数和参数均为整数的条件，确定 $m$ 的可能取值并计数

因为 $m$ 为整数，且方程组有整数解，所以 $x$ 和 $y$ 必须都是整数。
由 $y = \frac{2}{m - 8}$ 为整数可知，整数 $m - 8$ 必须是 $2$ 的因数。
$2$ 的整因数有：$-1, 1, -2, 2$。
因此，有以下四种情况：

1. 当 $m - 8 = -1$ 时，$m = 7$（此时 $y = -2, x = 9$，符合题意）；
2. 当 $m - 8 = 1$ 时，$m = 9$（此时 $y = 2, x = -7$，符合题意）；
3. 当 $m - 8 = -2$ 时，$m = 6$（此时 $y = -1, x = 5$，符合题意）；
4. 当 $m - 8 = 2$ 时，$m = 10$（此时 $y = 1, x = -3$，符合题意）。

综上所述，满足条件的整数 $m$ 共有 $4$ 个。
故选 B。