已知半径分别为1和2的两个圆有两个交点，则圆心距d的取值范围是．

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完整解法

1. 确定两圆的位置关系

根据题意，半径分别为 $1$ 和 $2$ 的两个圆有两个交点，可知这两个圆的位置关系为相交．

2. 列出两圆相交时圆心距满足的条件

设两圆的半径分别为 $R$ 和 $r$ （其中 $R \ge r$ ），圆心距为 $d$ ．
两圆相交的充要条件是： $R - r < d < R + r$ ．

3. 代入数据求解圆心距的取值范围

已知 $R = 2$ ， $r = 1$ ，代入不等式得：
$2 - 1 < d < 2 + 1$
即：
$1 < d < 3$
所以圆心距 $d$ 的取值范围是 $1 < d < 3$ ．

答案

$1 < d < 3$

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