下列方程中，关于$x$的一元二次方程是$()$

A. $(x+1)^{2}=2(x+1)$

B. $\dfrac {1}{x^{2}}+ \dfrac {1}{x}-2=0$

C. $ax^{2}+bx+c=0$

D. $x^{2}+2x=x^{2}-1$

1. 明确一元二次方程的定义

一元二次方程必须满足三个条件：

1. 是整式方程（分母中不含有未知数）；
2. 只含有一个未知数；
3. 未知数的最高次数是 $2$（即二次项系数不为 $0$，形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 且 $a \neq 0$）。

2. 分析并判断各个选项

• 对于 A：$(x+1)^{2}=2(x+1)$ 展开整理得 $x^2 - 1 = 0$，符合一元二次方程的定义，故 A 正确；
• 对于 B：$\dfrac {1}{x^{2}}+ \dfrac {1}{x}-2=0$ 的分母中含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，故 B 错误；
• 对于 C：$ax^{2}+bx+c=0$ 在没有声明 $a \neq 0$ 的情况下不一定是一元二次方程，故 C 错误；
• 对于 D：$x^{2}+2x=x^{2}-1$ 移项化简后得 $2x = -1$，是一元一次方程，故 D 错误。

综上所述，只有 A 是关于 $x$ 的一元二次方程。