Answer all the questions A curve has an equation $y = 2x\sqrt{2x+1}$.

1. 应用乘积法则和链式法则展开求导

设 $y = 2x (2x+1)^{\frac{1}{2}}$。
利用乘积法则 $\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$：
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x) \cdot (2x+1)^{\frac{1}{2}} + 2x \cdot \frac{d}{dx}\left((2x+1)^{\frac{1}{2}}\right)$
$= 2\sqrt{2x+1} + 2x \cdot \left[\frac{1}{2}(2x+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2\right]$
$= 2\sqrt{2x+1} + \frac{2x}{\sqrt{2x+1}}$

2. 通分化简为目标形式并确定常数 $a$ 和 $b$

将两项通分，公分母为 $\sqrt{2x+1}$：
$\frac{dy}{dx} = \frac{2(2x+1) + 2x}{\sqrt{2x+1}} = \frac{4x + 2 + 2x}{\sqrt{2x+1}} = \frac{6x + 2}{\sqrt{2x+1}}$
此式即符合 $\frac{ax+b}{\sqrt{2x+1}}$ 的形式，其中正整数 $a = 6$，$b = 2$。

1. 利用第一问的求导结果建立积分等式

由 (a) 问可知，$\frac{d}{dx}\left(2x\sqrt{2x+1}\right) = \frac{6x+2}{\sqrt{2x+1}}$。
根据积分是微分的逆运算：
$\int \frac{6x+2}{\sqrt{2x+1}} \, dx = 2x\sqrt{2x+1} + C'$

2. 将目标被积函数与前问结果建立比例关系并求解积分

观察被积函数，发现 $6x+2 = 2(3x+1)$，因此：
$\int \frac{3x+1}{\sqrt{2x+1}} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{6x+2}{\sqrt{2x+1}} \, dx$
$= \frac{1}{2} \left(2x\sqrt{2x+1}\right) + C$
$= x\sqrt{2x+1} + C$