人们把 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 这个数叫做黄金分割数．著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．
设 $a = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ， $b = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ ，得 $ab = 1$ ，记 $S_1 = \frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b}$ ， $S_2 = \frac{1}{1+a^2} + \frac{1}{1+b^2}$ ， $\dots$ ， $S_{10} = \frac{1}{1+a^{10}} + \frac{1}{1+b^{10}}$ ，则 $S_1 + S_2 + \dots + S_{10} =$ ___ ．

1. 通分化简一般项 $S_n$，证明其值为定值 1

已知 $ab = 1$，则对于任意正整数 $n$，均有 $a^n b^n = (ab)^n = 1$．
对 $S_n$ 进行通分：
$S_n = \frac{1}{1+a^n} + \frac{1}{1+b^n} = \frac{(1+b^n) + (1+a^n)}{(1+a^n)(1+b^n)} = \frac{2 + a^n + b^n}{1 + a^n + b^n + a^n b^n}$
将 $a^n b^n = 1$ 代入分母，得：
$1 + a^n + b^n + a^n b^n = 1 + a^n + b^n + 1 = 2 + a^n + b^n$
因此：
$S_n = \frac{2 + a^n + b^n}{2 + a^n + b^n} = 1$
故 $S_1 = S_2 = \dots = S_{10} = 1$．

2. 求 $S_1 + S_2 + \dots + S_{10}$ 的值

$S_1 + S_2 + \dots + S_{10} = \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{10\text{个}1} = 10 \times 1 = 10$