二元一次方程$x+2y=5$的非负整数解的个数是$(\quad)$

A. $4$

B. $3$

C. $2$

D. $1$

1. 将二元一次方程变形，用一个未知数表示另一个未知数

由方程 $x+2y=5$，移项可得：
$x = 5 - 2y$

2. 根据非负整数约束条件确定未知数的取值范围

因为 $x$ 和 $y$ 是非负整数，所以 $x \ge 0$ 且 $y \ge 0$。
由 $x \ge 0$，得 $5 - 2y \ge 0$
解得 $y \le 2.5$
由于 $y$ 必须是非负整数，所以 $y$ 只能取 $0, 1, 2$。

3. 穷举确定方程的非负整数解并计数

分别代入 $y$ 的可能值求出对应的 $x$：

• 当 $y = 0$ 时，$x = 5 - 2 \times 0 = 5$，非负整数解为 $\begin{cases} x=5 \\ y=0 \end{cases}$；
• 当 $y = 1$ 时，$x = 5 - 2 \times 1 = 3$，非负整数解为 $\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$；
• 当 $y = 2$ 时，$x = 5 - 2 \times 2 = 1$，非负整数解为 $\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$。

综上所述，原方程的非负整数解共有 $3$ 个。
故选：B。