已知不等式组$\begin{cases} x > a \\ x\geqslant 1 \\\end{cases}$的解集是$x\geqslant 1$，则$a$的取值范围是 $()$

A. $a < 1$

B. $a\geqslant 1$

C. $a\leqslant 1$

D. $a > 1$

1. 分析不等式组的解集构成

已知不等式组为：
$\begin{cases} x > a \\ x \geqslant 1 \end{cases}$
该不等式组的解集是两个不等式解集的交集，即数轴上 $x > a$ 与 $x \geqslant 1$ 的公共部分。根据题目，该不等式组的解集为 $x \geqslant 1$。

2. 确定参数 $a$ 的取值范围，并进行边界值检验

要使两解集的交集为 $x \geqslant 1$，区间 $[1, +\infty)$ 必须完全包含在区间 $(a, +\infty)$ 内，因此有 $a < 1$。

我们可以通过特殊值检验边界：

• 当 $a = 1$ 时，不等式组为 $\begin{cases} x > 1 \\ x \geqslant 1 \end{cases}$，其解集为 $x > 1$，不符合题意，故 $a = 1$ 必须舍去（即不能取等号）。
• 当 $a < 1$ 时，显然有 $[1, +\infty) \subset (a, +\infty)$，解集为 $x \geqslant 1$，符合题意。

综上所述，$a$ 的取值范围是 $a < 1$。

故选：A。