观察式子：$a+b=1,{a}^{2}+{b}^{2}=3,{a}^{3}+{b}^{3}=4,{a}^{4}+{b}^{4}=7,{a}^{5}+{b}^{5}=11,···,则{a}^{8}+{b}^{8}= ()$

A. $20$

B. $37$

C. $47$

D. $76$

1. 列出已知等式右侧的常数序列

将给定的等式 $a+b=1$, $a^2+b^2=3$, $a^3+b^3=4$, $a^4+b^4=7$, $a^5+b^5=11$ 右侧的常数依次记为数列 $\{S_n\}$，其中 $S_n = a^n + b^n$。
则前5项为：
$S_1 = 1$
$S_2 = 3$
$S_3 = 4$
$S_4 = 7$
$S_5 = 11$

2. 观察并归纳数列的递推规律

观察这5个数值，可以发现：
$S_3 = 4 = 1 + 3 = S_1 + S_2$
$S_4 = 7 = 3 + 4 = S_2 + S_3$
$S_5 = 11 = 4 + 7 = S_3 + S_4$
由此归纳出规律：自第三项起，每一项等式右侧的常数等于其前两项等式右侧常数的和，即：
$S_n = S_{n-1} + S_{n-2} \quad (n \ge 3)$

3. 根据递推规律计算 $S_8$

利用递推关系依次计算后续各项：
$S_6 = S_4 + S_5 = 7 + 11 = 18$
$S_7 = S_5 + S_6 = 11 + 18 = 29$
$S_8 = S_6 + S_7 = 18 + 29 = 47$
因此，$a^8 + b^8 = 47$。
对应选项 C。