设函数$f(x)=ax- \dfrac {a}{x}-2\ln x$． (1)若$f(x)$在$x=2$时有极值，求实数$a$的值和$f(x)$的极大值； (2)若$f(x)$在定义域上是增函数，求实数$a$的取值范围．

1. 求导函数并由极值点列方程求出 a

$f(x)$ 的定义域为 $(0, +\infty)$。
对 $f(x)$ 求导得：
$f'(x) = a + \dfrac{a}{x^2} - \dfrac{2}{x} = \dfrac{ax^2 - 2x + a}{x^2}$
因为 $f(x)$ 在 $x=2$ 处取得极值，所以 $f'(2) = 0$，即：
$\dfrac{4a - 4 + a}{4} = 0 \implies 5a - 4 = 0 \implies a = \dfrac{4}{5}$

2. 检验单调性并求极大值

当 $a = \dfrac{4}{5}$ 时，
$f'(x) = \dfrac{\frac{4}{5}x^2 - 2x + \frac{4}{5}}{x^2} = \dfrac{2(2x - 1)(x - 2)}{5x^2}$
令 $f'(x) = 0$，解得 $x_1 = \dfrac{1}{2}$，$x_2 = 2$。
当 $x \in \left(0, \dfrac{1}{2}\right)$ 时，$f'(x) > 0$，$f(x)$ 单调递增；
当 $x \in \left(\dfrac{1}{2}, 2\right)$ 时，$f'(x) < 0$，$f(x)$ 单调递减；
当 $x \in (2, +\infty)$ 时，$f'(x) > 0$，$f(x)$ 单调递增。
因此，$f(x)$ 在 $x = 2$ 处取得极小值，在 $x = \dfrac{1}{2}$ 处取得极大值，符合题意。
极大值为：
$f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{1}{2} - \dfrac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{2}} - 2\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2}{5} - \dfrac{8}{5} + 2\ln 2 = -\dfrac{6}{5} + 2\ln 2$

1. 将函数单调性转化为导函数非负恒成立并分离参数

$f(x)$ 的定义域为 $(0, +\infty)$，若 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上是增函数，则 $f'(x) \ge 0$ 在 $(0, +\infty)$ 上恒成立（且不恒为 $0$）。
即：
$f'(x) = \dfrac{ax^2 - 2x + a}{x^2} \ge 0$
因为 $x > 0$，所以 $x^2 > 0$，故：
$ax^2 - 2x + a \ge 0 \implies a(x^2 + 1) \ge 2x$
由于 $x^2 + 1 > 0$，两边同除以 $x^2 + 1$，得：
$a \ge \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ 对任意 $x \in (0, +\infty)$ 恒成立。

2. 求出最值并确定 a 的取值范围

设 $g(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ ($x > 0$)。
由基本不等式可得：
$x^2 + 1 \ge 2\sqrt{x^2 \cdot 1} = 2x$
当且仅当 $x = 1$ 时等号成立。
所以：
$g(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1} \le 1$
即 $g(x)$ 的最大值为 $1$。
因此 $a \ge 1$。
当 $a = 1$ 时，$f'(x) = \dfrac{(x - 1)^2}{x^2} \ge 0$，仅在 $x = 1$ 时 $f'(x) = 0$，$f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上为单调递增函数，符合题意。
综上，实数 $a$ 的取值范围是 $[1, +\infty)$。