如图，边长为 $1$ 的正方形 $ABCD$ 中，$BE = 2EC$，$CF = FD$，求三角形 $AEG$ 的面积.

1. 延长 $AF$ 与 $BC$ 的延长线交于点 $P$，求出 $PC$ 和 $PE$ 的长度

延长 $AF$ 交 $BC$ 的延长线于点 $P$。
因为四边形 $ABCD$ 是边长为 $1$ 的正方形，所以 $AD \parallel BC$，且 $AD = 1$。
在 $\Delta ADF$ 和 $\Delta PCF$ 中：
$\angle DAF = \angle CPF$（内错角相等），$\angle ADF = \angle PCF = 90^\circ$，$DF = CF = \frac{1}{2}$。
由全等三角形判定（AAS）可得 $\Delta ADF \cong \Delta PCF$，故 $PC = AD = 1$。
又已知 $BE = 2EC$，正方形边长为 $1$，故 $EC = \frac{1}{3}$。
因此，$PE = PC + EC = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$。

2. 利用相似三角形（沙漏模型）求出线段比 $GE : DE$

因为 $AD \parallel PE$，在 $\Delta ADG$ 和 $\Delta PEG$ 中形成沙漏（相似）模型，故 $\Delta ADG \sim \Delta PEG$。
由此可得线段比例：
$\frac{GE}{DG} = \frac{PE}{AD} = \frac{\frac{4}{3}}{1} = \frac{4}{3}$
因此，$GE$ 占整条线段 $DE$ 的 $\frac{4}{3 + 4} = \frac{4}{7}$，即：
$\frac{GE}{DE} = \frac{4}{7}$

3. 计算 $\Delta ADE$ 的面积，并求出 $\Delta AEG$ 的面积

在 $\Delta ADE$ 中，底边 $AD = 1$，高为正方形边长 $AB = 1$：
$S_{\Delta ADE} = \frac{1}{2} \times AD \times AB = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$
由于 $\Delta AEG$ 与 $\Delta ADE$ 共享顶点 $A$，且底边 $GE$ 与 $DE$ 在同一直线上（同高三角形），其面积比等于底边比：
$S_{\Delta AEG} = \frac{GE}{DE} \times S_{\Delta ADE} = \frac{4}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{7}$