如图，正方形 $ABCD$ 中，$DE=2AE$，$F$ 是 $CD$ 中点，三角形 $AEG$ 的面积是1，则正方形 $ABCD$ 的面积是 ___ .

1. 添加辅助线并设边长参量，计算 $\triangle ABF$ 与 $\triangle AEF$ 的面积

连接 $EF$ 和 $BF$。设正方形 $ABCD$ 的边长为 $6a$。
因为 $DE = 2AE$，$F$ 是 $CD$ 的中点，所以：
$AE = \frac{1}{3}AD = 2a, \quad DF = \frac{1}{2}CD = 3a$
在 $\triangle ABF$ 中，底边 $AB = 6a$，高为正方形边长 $6a$，则：
$\text{Area}(\triangle ABF) = \frac{1}{2} \times 6a \times 6a = 18a^2$
在 $\triangle AEF$ 中，底边 $AE = 2a$，高为 $DF = 3a$，则：
$\text{Area}(\triangle AEF) = \frac{1}{2} \times 2a \times 3a = 3a^2$

2. 运用风筝模型（共底三角形面积比）求出线段比 $BG : EG$

$\triangle ABF$ 与 $\triangle AEF$ 共享底边 $AF$，根据风筝模型，两三角形的面积比等于它们在 $AF$ 上的对应高之比，也等于交点 $G$ 分割线段 $BE$ 的比例：
$\frac{BG}{EG} = \frac{\text{Area}(\triangle ABF)}{\text{Area}(\triangle AEF)} = \frac{18a^2}{3a^2} = \frac{6}{1}$

3. 根据等高三角形面积比求出 $\triangle ABE$ 的面积，进而求出正方形 $ABCD$ 的面积

在 $\triangle ABE$ 中，$G$ 为 $BE$ 上一点，$\triangle AGB$ 与 $\triangle AEG$ 同高（高为点 $A$ 到 $BE$ 的距离），因此它们的面积比等于底边之比：
$\frac{\text{Area}(\triangle AGB)}{\text{Area}(\triangle AEG)} = \frac{BG}{EG} = 6$
已知 $\text{Area}(\triangle AEG) = 1$，可得：
$\text{Area}(\triangle AGB) = 6 \times 1 = 6$
因此 $\triangle ABE$ 的面积为：
$\text{Area}(\triangle ABE) = \text{Area}(\triangle AEG) + \text{Area}(\triangle AGB) = 1 + 6 = 7$
又因为 $AE = \frac{1}{3}AD$，$\triangle ABE$ 的面积占正方形 $ABCD$ 面积的：
$\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$
所以正方形 $ABCD$ 的面积为：
$\text{Area}(ABCD) = 6 \times \text{Area}(\triangle ABE) = 6 \times 7 = 42$