下列四个命题中真命题是$(\quad).$

A. 若存在实数$x$，$y$，使$\overrightarrow{p}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{p}$与$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$共面

B. 若$\overrightarrow{p}$与$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$共面，则存在实数$x$，$y$，使$\overrightarrow{p}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$

C. 若存在实数$x$，$y$，使$\overrightarrow{MP}=x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}$，则$P$，$M$，$A$，$B$共面

D. 若$P$，$M$，$A$，$B$共面，则存在实数$x$，$y$，使$\overrightarrow{MP}=x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}$

1. 分析并判断命题A和命题C的真假

对于A：根据共面向量定理与向量线性组合的定义，若存在实数 $x, y$ 使得 $\overrightarrow{p}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$，则由共面向量定义，向量 $\overrightarrow{p}$ 必与 $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ 共面，故A是真命题；
对于C：若存在实数 $x, y$ 使得 $\overrightarrow{MP}=x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}$，同理可知，向量 $\overrightarrow{MP}$、$\overrightarrow{MA}$、$\overrightarrow{MB}$ 共面。因为这些向量具有共同的起点 $M$，所以起点和终点所对应的点 $P, M, A, B$ 必在同一个平面内，即 $P, M, A, B$ 共面，故C是真命题。

2. 分析并判断命题B和命题D的真假

对于B：若向量 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 共线，而 $\overrightarrow{p}$ 与它们共面但不共线，此时不存在实数 $x, y$ 满足 $\overrightarrow{p}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$（因为 $x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$ 只能表示与 $\overrightarrow{a}$ 共线的向量），故B是假命题；
对于D：若 $M, A, B$ 三点共线，而点 $P$ 在该直线外但与它们在同一平面内，则 $P, M, A, B$ 共面。但此时向量 $\overrightarrow{MA}$ 与 $\overrightarrow{MB}$ 共线，而 $\overrightarrow{MP}$ 与它们不共线，因此不存在实数 $x, y$ 使得 $\overrightarrow{MP}=x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}$，故D是假命题。