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几何意义与投影

a^⋅n^\hat{\mathbf{a}} \cdot \hat{\mathbf{n}} 与 a^×n^\hat{\mathbf{a}} \times \hat{\mathbf{n}} 的几何意义，其中 n^\hat{\mathbf{n}} 为单位向量。

这个知识点的练习题

  1. 1一家钻探公司计划在山中铺设一条直管道 ABAB。点 (x,y,z)(x, y, z) 是相对于山脚下坐标为 (0,0,0)(0, 0, 0) 的主控制中心定义的，其中单位为米。xx 轴指向东，yy 轴指向北，zz 轴垂直向上。点 AA 的坐标为 (−200,150,10)(-200, 150, 10)…
  2. 2以原点 OO 为基准，点 AA、PP 和 QQ 的位置向量分别为 a\mathbf{a}、p\mathbf{p} 和 q\mathbf{q}。一条穿过点 AA 的直线 ll 平行于单位向量 e\mathbf{e}。 点…
  3. 3平面 Π1\Pi_1 的方程为 x+y+z=3x + y + z = 3。一条直线穿过点 PP 和 QQ，它们的位置向量分别为 i+j+2k\mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k} 和 4i+2j−k4\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k}…
  4. 4平面 Π1\Pi_1 和 Π2\Pi_2 的向量方程分别为 r=λ1(i+j−k)+μ1(2i−j+k)andr=λ2(i+2j+k)+μ2(3i+j−k)\mathbf{r} = \lambda_1(\mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k}) + \mu_1(2\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k}) \quad \text{and} \quad \mathbf{r} = \lambda_2(\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}) + \mu_2(3\mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k})…
  5. 5以原点 OO 为基准，点 AA 和点 BB 满足 OA→=a\overrightarrow{OA}=\mathbf{a} 且 OB→=b\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}。点 CC 在 OBOB 上，使得 OC→=pOB→\overrightarrow{OC}=p\overrightarrow{OB}…
  6. 6OABCOABC 是一个菱形。点 AA 和 CC 满足 OA→=a\overrightarrow{OA}=\mathbf{a} 且 OC→=c\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}。点 MM 是该菱形的中心，且角 AOCAOC 为…
  7. 7在三角形 PQRPQR 中，向量 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 c\mathbf{c} 分别表示向量 PQ⃗\vec{PQ}、QR⃗\vec{QR} 和 PR⃗\vec{PR}。 阐述 ∣c×a^∣|\mathbf{c} \times \mathbf{\hat{a}}|…
  8. 8相对于原点 OO，AA、BB 和 CC 点的位置向量分别为 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 3a+b3\mathbf{a}+\mathbf{b}。点 DD 在 ABAB 上，满足 AD=k ABAD = k\,AB，其中…
  9. 9平面 p1p_1 和 p2p_2 的方程分别为 r=(4−13)+s(3−17)+t(1−312)\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 12 \end{pmatrix}…
  10. 10为了构建虚拟现实（VR）体验，需要创建一个包含几何模型的虚拟世界。以原点 OO 为基准，虚拟世界中的每个点都表示为坐标 (x,y,z)(x, y, z)。透视投影是一种将虚拟世界中的点投影到虚拟屏幕上，同时保持物体在不同距离下的缩放特性的技术。在…
  11. 11以原点 OO 为参考点，点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别表示为 OA→\overrightarrow{OA}、OB→\overrightarrow{OB} 和 OC→\overrightarrow{OC}，使得 OA→=(1−λ)OB→+λOC→,\overrightarrow{OA} = (1 - \lambda)\overrightarrow{OB} + \lambda\overrightarrow{OC},…
  12. 12以原点 OO 为基准，点 AA 和点 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}，满足 ∣a∣=5|\mathbf{a}| = 5 且 ∣b∣=3|\mathbf{b}| = 3。 已知 ∣2b−a∣=7|2\mathbf{b} - \mathbf{a}| = 7…
  13. 13相对于原点 O，点 A 和 B 的位置向量分别为 a\mathbf{a} and b\mathbf{b}，其中 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b} 是非零且不平行的向量。点 M 是 OA 的中点，点 N 在 OB 上…
  14. 14直线 ll 的方程为 1−x=z−α2,y=11 - x = \frac{z - \alpha}{2}, y = 1，其中 α\alpha 为常数。 已知直线 ll 与 yzyz 平面的交点为 (0,1,5)(0, 1, 5)，证明 α=3\alpha = 3。 以…
  15. 15相对于原点，定点 AA 的位置向量为 a\mathbf{a}。直线 ll 的方程为 r=sd\mathbf{r} = s\mathbf{d}，其中 ss 是一个参数，d\mathbf{d} 是一个与 a\mathbf{a} 不平行的…
  16. 16平面 Π1\Pi_1 经过点 A(1,4,2)A(1,4,2)、 B(1,0,5)\ B(1,0,5) 和 C(0,8,−1)C(0,8,-1)。 求 Π1\Pi_1 的笛卡尔方程。 求点 P(2,1,2)P(2,1,2) 到平面 Π1\Pi_1 的最短距离。 第二个平面 Π2\Pi_2 经…
  17. 17向量 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b} 分别由下式给出： a=4i+6pj−8kandb=2i−3j+4pk, where p>0.\mathbf{a} = 4\mathbf{i} + 6p\mathbf{j} - 8\mathbf{k} \quad \text{and} \quad \mathbf{b} = 2\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 4p\mathbf{k} \text{, where } p > 0.…
  18. 18相对于原点 OO，点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别为 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 3a+b3\mathbf{a}+\mathbf{b}。点 DD 在 ABAB 上，使得 AD=k ABAD = k\,AB，其…
  19. 19以原点 O 为基准，点 A 的位置向量为 −i−3j+3k-\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 3\mathbf{k}。平面 π\pi 和直线 ll 的方程分别为 r=(421)+λ(−132)+μ(23−4)\mathbf{r} = \begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}-1 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}2 \\ 3 \\ -4\end{pmatrix}…
  20. 20玩家在虚拟现实游戏中控制一个角色，其中点 (x,y,z)(x,y,z) 是相对于固定点 OO 定义的。长度单位为米，且我们假设角色在点与点之间沿直线移动。 起初，角色位于坐标为 (−3,4,−1)(-3,4,-1) 的点 AA。角色首先沿着平行于 i−3j\mathbf{i}-3\mathbf{j}…
  21. 21平面 Π1\Pi_1 和 Π2\Pi_2 的方程分别为 r⋅(i−2j+k)=4\mathbf{r} \cdot (\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + \mathbf{k}) = 4 和 r=3i−j+k+λ(−i+j+k)+μ(4i+j)\mathbf{r} = 3\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k} + \lambda(-\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}) + \mu(4\mathbf{i} + \mathbf{j})…
  22. 22已知 aa 和 bb 为两个非零且不平行的向量，且 c=∣b∣a+∣a∣bc = |b|a + |a|b，证明 cc 在 aa 上的投影长度与 cc 在 bb 上的投影长度大小相等。 直线 l1l_1，平面 π1\pi_1 和 π2\pi_2 的…
  23. 23点 AA 和 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}。CC 是直线 OBOB 上的点，使得 ACAC 垂直于 OBOB。 通过使用适当的数量积或其他方法，证明 OC→=(a⋅b)∣b∣2b\overrightarrow{OC} = \frac{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})}{|\mathbf{b}|^2}\mathbf{b}…
  24. 24相对于原点 OO，点 AA 和 CC 的位置向量分别为 a\mathbf{a} and 2b2\mathbf{b}，使得 a=5pi−2pj+4pkandb=i−2j+2k,\mathbf{a} = 5p\mathbf{i} - 2p\mathbf{j} + 4p\mathbf{k} \quad \text{and} \quad \mathbf{b} = \mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k},…
  25. 25图示为一个具有水平矩形底面 OABCOABC 的立体，其中 OAOA 和 OCOC 的长度分别为 12 m12\text{ m} 和 8 m8\text{ m}。MM 和 NN 分别是 OCOC 和 ABAB 的中点，且 DD 和 EE 分别…
  26. 26相对于原点 OO，三个不同的定点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别为 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 c\mathbf{c}。已知 b\mathbf{b} 是单位向量，∣a∣=3|\mathbf{a}| = 3…
  27. 27分子几何结构是分子中原子的三维排列。图 1 展示了一个特定分子的分子几何结构，它呈四面体形状，一个中心原子位于四面体内部，另外 4 个原子位于四面体的顶点。点 AA、BB、CC 和 DD 代表四面体的 4 个顶点，并与由点 EE…
  28. 28相对于原点 OO，点 AA 和 BB 的位置向量分别为 4i+2j4\mathbf{i} + 2\mathbf{j} 和 3i+k3\mathbf{i} + \mathbf{k}。点 CC 使得 OACBOACB 为平行四边形，点 EE 满足…
  29. 29以原点 OO 为基准，点 AA 和 BB 满足 OA→=a\overrightarrow{OA} = \mathbf{a} 且 OB→=b\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}。点 CC 在 OBOB 上，满足 OC→=pOB→\overrightarrow{OC} = p\overrightarrow{OB}…
  30. 30该图展示了一个以 OO 为圆心、 ABAB 为直径的单位圆。点 CC 落在圆周上。 A,BA, B 和 CC 的位置向量分别为 a,b\mathbf{a}, \mathbf{b} 和 c\mathbf{c}。 通过考虑适当的数量积（点积…
  31. 31相对于原点 OO，两个点 AA 和 BB 的位置向量分别由 a=4i+2j+3k\mathbf{a} = 4\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} 和 b=4i−2j+7k\mathbf{b} = 4\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 7\mathbf{k}…
  32. 32以原点 OO 为基准，点 AA 和点 BB 满足 OA→=a\overrightarrow{OA}=\mathbf{a} 且 OB→=b\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}。点 CC 在 OBOB 上，满足 OC→=p OB→\overrightarrow{OC} = p\,\overrightarrow{OB}…
  33. 33下图显示了一个以 AA、BB、CC 和 DD 为顶点的三棱锥。以原点 OO 为基准，点 AA、BB、CC 和 DD 的位置向量分别为 i+2j+3k\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}、2i−j+4k2\mathbf{i} - \mathbf{j} + 4\mathbf{k}…
  34. 34三个平面 p1,p2,p3p_1, p_2, p_3 的方程分别为 2x−4y+z=6,2x-4y+z=6, x+y−z=6,x+y-z=6, ax−2y−z=b,ax-2y-z=b, 其中 aa 和 bb 为常数。平面 p1p_1 和 p2p_2 相交于直线 ll。 求 ll 的向量方…
  35. 35点 P、Q 和 R 相对于原点 O 的位置向量分别为 p、q 和 r。向量 p 是单位向量，而向量 q 和 r 是非零向量。 写出 ∣p⋅q∣|\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}| 的几何意义。 已知 p⋅q=2\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}=2…