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分部积分法

分部积分法。

这个知识点的练习题

  1. 15 (a) 求解下列积分。 ∫1−2x3+2x−x2 dx.\displaystyle\int \frac{1-2x}{\sqrt{3+2x-x^2}}\,\mathrm{d}x. ∫xln⁡(2−x2) dx\displaystyle\int x\ln\left(2-x^2\right)\,\mathrm{d}x…
  2. 2求 ∫3ex5−0.3ex dx\displaystyle \int \frac{3e^x}{5 - 0.3e^x} \, dx ∫cos⁡(ln⁡x) dx\displaystyle \int \cos(\ln x) \, dx，其中 x>0x > 0 ∫03∣2ex−5∣ dx\displaystyle \int_0^3 |2e^x - 5| \, dx…
  3. 3证明对于 x>1x>1， ddx(1x2−1)=−x(x2−1)3/2 .\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)=-\dfrac{x}{(x^2-1)^{3/2}}\,. ddx(sin⁡−11x)=−1xx2−1 .\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin^{-1}\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\,.…
  4. 4证明 ∫nn+1ln⁡x dx=(n+1)ln⁡(n+1)−nln⁡n−1.\displaystyle\int_{n}^{n+1} \ln x\, dx = (n+1)\ln(n+1) - n\ln n - 1. (ii) 图中给出了 x=nx = n 与 x=n+1x = n+1 之间 y=ln⁡xy = \ln x…
  5. 5已知 C=∫0πe−2xcos⁡x  dxC = \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{-2x} \cos x \; \mathrm{d}x 且 S=∫0πe−2xsin⁡x  dxS = \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{-2x} \sin x \; \mathrm{d}x…
  6. 6函数 f 定义为 f(x)=ln⁡(5−x),  x<5f(x)=\ln(5-x),\; x<5。 求由曲线 y=f(x)y=f(x) 以及 x 轴和 y 轴所围成的区域绕 y 轴完全旋转一周所得旋转体的体积。答案精确到两位小数。 写出使得 f(∣x∣)=∣f(x)∣f(|x|)=|f(x)| 成立的…
  7. 7求 ∫x2e−2x dx\displaystyle\int x^{2}e^{-2x}\,\mathrm{d}x。 方程为 y=xe−xy = xe^{-x} 的曲线与方程为 y=1exy=\tfrac{1}{e}x 的直线相交于原点 OO 和 xx 坐标为 1 的点…
  8. 8曲线 CC 的方程为 y=ln⁡(2−∣x∣)y=\ln\left(2-\lvert x\rvert\right)。区域 RR 由 CC、直线 y=ln⁡2y=\ln 2、x=1x=1 和 x=−1x=-1 围成。求 RR 的精确面积。 曲线 CC 的参数方程定义…
  9. 9一位农民拥有一块土地 OABOAB，其相邻两边为 OAOA 和 OBOB。以 OO 为原点，OAOA 和 OBOB 分别平行于 xx 轴和 yy 轴。弧 ABAB 由参数方程表示： x=cos⁡θ,y=θ−12sin⁡2θ,0≤θ≤π2.x = \cos\theta, \quad y = \theta - \frac{1}{2}\sin 2\theta, \quad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.…
  10. 10求 ∫sin⁡3xcos⁡x dx\displaystyle \int \sin 3x \cos x\, dx。 求 ∫e2xcos⁡3x dx\displaystyle \int e^{2x} \cos 3x\, dx。
  11. 11求 ∫xln⁡(x2−4)dx\int x \ln(x^2 - 4) \text{d}x。 利用换元法 x=acos⁡ux = a \cos u 求 ∫0aa2−x2 dx\int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \text{ d}x，其中 aa 是一个正常数。给出精确形…
  12. 12求 ∫x2e−2x dx\int x^{2} e^{-2x}\, dx。 方程为 y=xe−xy = x e^{-x} 的曲线与方程为 y=1exy = \tfrac{1}{e} x 的直线相交于原点 OO 和 xx 坐标为 1 的点 PP。区域 RR 由该曲线…
  13. 13[Cambridge/N78/I/20] 求 ddx(tan⁡−1(x2))\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\tan^{-1}(x^2))，并由此或用其他方法，求 ∫xtan⁡−1(x2) dx\int x \tan^{-1}(x^2) \, dx。
  14. 14曲线 CC 的方程为 y=xcos⁡2xy = x\cos 2x，其中 0≤x≤π0 \le x \le \pi。 求 CC 与 xx 轴相交之点的精确 xx 坐标。 画出 CC 的草图，并写出该曲线与 xx 轴和 yy 轴的所有交点的坐标。 求…
  15. 15求 ∫sin⁡pxcos⁡qx dx\int \sin px \cos qx \text{ d}x，其中 pp 和 qq 是常数，满足 p≠qp \ne q 且 p≠−qp \ne -q。 已知 m≠0m \ne 0，求 ∫xsin⁡mx dx\int x \sin mx \text{ d}x…
  16. 16求 ∫x+2x2+2x−3 dx\int \frac{x+2}{x^2+2x-3} \,\mathrm{d}x。 求 ∫2xsin⁡x dx\int 2x\sin x \,\mathrm{d}x。 利用换元法 x=3sin⁡θx = 3\sin\theta，求 ∫0329−x2 dx\int_0^{\frac{3}{2}} \sqrt{9-x^2} \,\mathrm{d}x…
  17. 17求 ∫6+2x1−4x−x2 dx\displaystyle \int \dfrac{6+2x}{\sqrt{1-4x-x^2}}\,\mathrm{d}x。 上图所示为由方程为 y=ln⁡xxy=\dfrac{\sqrt{\ln x}}{x}（x≥1x \ge 1）的曲线 CC…
  18. 18求 ∫xsin⁡2x dx\displaystyle \int x \sin^{2} x \, dx 。 区域 R 由曲线 y=xsin⁡xy = \sqrt{x \sin x}、直线 x = 0 和 x=πx = \pi 以及 x 轴围成。求区域 R 绕 x 轴旋转一周…
  19. 19通过两次分部积分证明：∫e2xsin⁡x dx=15e2x(2sin⁡x−cos⁡x)+c.\int e^{2x}\sin x\,dx=\tfrac{1}{5}e^{2x}(2\sin x-\cos x)+c. 下图显示了阴影区域 RR，该区域由曲线 y=ex−π/2sin⁡xy= e^{x-\pi/2}\sqrt{\sin x}…
  20. 20求 ∫1−3x1+9x2 dx\int \frac{1-3x}{1+9x^2} \, \text{d}x。 使用代换 x=2sin⁡θx = 2\sin\theta，其中 θ\theta 为锐角，求 ∫(x−1)24−x2 dx\int \frac{(x-1)^2}{\sqrt{4-x^2}} \, \text{d}x…
  21. 21下图显示了一个由曲线 (y+5)2=x−3(y+5)^{2}=x-3 和直线 y=x−10y=x-10 所围成的区域 RR。求 RR 绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。 下图显示了一个由曲线 (y+5)2=x−3(y+5)^{2}=x-3 和直线 y=x−10y=x-10 所围…
  22. 22求 ddx(esin⁡−1x1−x2)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( e^{\sin^{-1} x} \sqrt{1 - x^2} \right)。 由此，利用分部积分法，求 ∫xesin⁡−1x1−x2 dx\int x \frac{e^{\sin^{-1} x}}{\sqrt{1 - x^2}} \, \mathrm{d}x…
  23. 23[剑桥/9709/2007] 使用分部积分法证明 ∫24ln⁡x dx=6ln⁡2−2.\int_{2}^{4} \ln x \, dx = 6 \ln 2 - 2.
  24. 24使用换元 t=ext = e^{x} 证明：∫e2x tan⁡−1(ex) dx=∫t tan⁡−1(t) dt.\int e^{2x}\,\tan^{-1}\bigl(e^{x}\bigr)\,dx = \int t\,\tan^{-1}(t)\,dt. 由此求出 ∫01e2x tan⁡−1(ex) dx\displaystyle \int_{0}^{1} e^{2x}\,\tan^{-1}\bigl(e^{x}\bigr)\,dx…
  25. 25求 ∫19−4x2 dx\int \frac{1}{9 - 4x^2} \text{ d}x。 利用换元法 x=cos⁡θ\sqrt{x} = \cos\theta，求 ∫x1−x dx\int \sqrt{\frac{x}{1-x}} \text{ d}x。 求 ∫1ex(ln⁡x)2 dx\int_{1}^{\text{e}} x(\ln x)^2 \text{ d}x…
  26. 26求 ∫10ex5−2ex dx ,\int \frac{10\mathrm{e}^x}{5 - 2\mathrm{e}^x} \,\mathrm{d}x \text{ ,} ∫x1+8x2 dx ,\int \frac{x}{\sqrt{1 + 8x^2}} \,\mathrm{d}x \text{ ,}…
  27. 27求 ddxe−x2\dfrac{d}{dx}e^{-x^{2}}。由此求 ∫x3e−x2 dx\displaystyle \int x^{3}e^{-x^{2}}\,dx。 通过使用代换 z=ex2yz = e^{x^{2}}y，求 dydx−2xy=x3\dfrac{dy}{dx}-2xy = x^{3}…
  28. 28求 ex2+2x\text{e}^{x^2+2x} 的导数。 由此，求 ∫(x+1)3ex2+2x dx\int (x+1)^3 \text{e}^{x^2+2x} \text{ d}x。
  29. 29求 x2−1\sqrt{x^2 - 1} 关于 xx 的导数。 由此求 ∫xcos⁡−1(1x) dx\displaystyle \int x\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{x}\right)\,dx。 使用代换 u=1xu = \dfrac{1}{x}…
  30. 30求下列积分。 ∫cos⁡3x−cosec23xsin⁡3x+cot⁡3x dx\int \frac{\cos 3x - \text{cosec}^2 3x}{\sin 3x + \cot 3x} \text{ d}x ∫1−x1−16x2 dx\int \frac{1-x}{\sqrt{1-16x^2}} \text{ d}x…
  31. 31使用分部积分法（或其他方法），求 ∫1yln⁡y dy\displaystyle \int \frac{1}{y}\ln y\,dy。 已知 y>1y>1 且 dydx=yln⁡y\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y}{\ln y}，求用…
  32. 32曲线 C 的参数方程为 x=et,  y=sin⁡tx = e^{t},\ \ y = \sin t 其中 0≤t≤π0 \le t \le \pi。 求 ∫etsin⁡t dt\int e^{t}\sin t\,dt。 画出 C 的图形草图。 求由 C、x 轴以及直线 x=1x = 1…
  33. 33求 ∫tan⁡2(x−1) dx,\int \tan^2(x - 1) \text{ d}x , ∫sin⁡−12x dx.\int \sin^{-1} 2x \text{ d}x .
  34. 34曲线 P 由 y=−sin⁡2xy = -\sin^2 x 定义，其中 −π≤x≤0-\pi \le x \le 0。 有界区域 R 由曲线 P、y 轴以及直线 x=−π2x = -\frac{\pi}{2}、y=−2y = -2 围成。 求 P 的极小值点的精确坐标。…
  35. 35求 ∫cos⁡xcos⁡3x+cos⁡x dx\int \frac{\cos x}{\cos 3x + \cos x} \text{ d}x。 求 ∫xtan⁡−1x2 dx\int x \tan^{-1} x^2 \text{ d}x。由此，求 ∫−11∣xtan⁡−1x2∣ dx\int_{-1}^{1} |x \tan^{-1} x^2| \text{ d}x…
  36. 36[在本题中，所有长度的测量单位均为米。] 要建造一座纪念碑，它由两部分组成——主体结构和底座。主体结构是将曲线 y=3sin⁡(2x2)y = 3\sin\left(2x^2\right)、 y=x2y = x^2 以及直线 x=π8x = \sqrt{\frac{\pi}{8}}…
  37. 37求常数 AA 和 BB 的值，使得对于所有 xx 的值，都有 11−4x=A(4−2x)+B.11 - 4x = A(4 - 2x) + B. 由此，求 ∫11−4xx(4−x) dx\int \frac{11 - 4x}{\sqrt{x(4 - x)}} \, \mathrm{d}x…
  38. 38曲线 CC 的方程为 y=ln⁡(2−∣x∣)y=\ln\left(2-\lvert x\rvert\right)。区域 RR 由 CC、直线 y=ln⁡2y=\ln 2、x=1x=1 和 x=−1x=-1 围成。求 RR 的面积精确值。 曲线 CC 的参数方程定…
  39. 39[Cambridge/9233/2005] 写出 sin⁡(x2)\sin(x^2) 的导数。 求 ∫x3cos⁡(x2) dx\int x^3 \cos(x^2) \, dx。
  40. 40利用公式表（MF26）中的标准级数，将 ln⁡(k+2x)n\ln(k + 2x)^n 按 xx 的升幂展开，直到 x3x^3 项，其中 kk 和 nn 为实常数，k>0k > 0，n<0n < 0 且 x>−k2x > -\frac{k}{2}。 写出第 *…
  41. 41区域 RR 由方程为 y=xln⁡xy = x \ln x 的曲线、直线 x=ex = \text{e}、x=e2x = \text{e}^2 以及 xx 轴围成。求 RR 绕 xx 轴旋转 2π2\pi 弧度所得旋转体的精确体积。将你的答案写成…
  42. 42求 ∫cos⁡(ln⁡x)x2 dx\int \frac{\cos(\ln x)}{x^2} \, \mathrm{d}x。 使用换元 u=x+3u = \sqrt{x+3}，求 ∫16x−2xx+3 dx\int_1^6 \frac{x-2}{x\sqrt{x+3}} \, \mathrm{d}x…
  43. 43求 ∫xx2+4x+7 dx\int \frac{x}{x^2 + 4x + 7} \, \mathrm{d}x。 利用分部积分法求 ∫0axa−x dx\int_0^a x\sqrt{a-x} \, \mathrm{d}x。
  44. 44求微分方程 cosec x d2ydx2=x\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = x 的通解。 求微分方程 cosec x d2ydx2=x\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = x 的通解。 求在原点处的切线平行于直线 y=3x−5y = 3x - 5…
  45. 45第一部分：纯粹数学 [40 分] 写出 tan⁡(x3)\tan(x^3) 的导数。 求 ∫6x5sec⁡2(x3) dx\int 6x^5 \sec^2(x^3) \, dx。
  46. 46求 ddx(esin⁡−1x1−x2)\dfrac{d}{dx}\left( e^{\sin^{-1}x}\sqrt{1-x^{2}}\right)。 (ii) 由此，利用分部积分法，求 ∫xesin⁡−1x1−x2 dx\displaystyle \int x \dfrac{e^{\sin^{-1}x}}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx…
  47. 47求 etan⁡x\text{e}^{\tan x} 对 xx 的导数。 由此求 ∫etan⁡xsec⁡4x dx\int \text{e}^{\tan x} \sec^4 x \text{ d}x。
  48. 48曲线 CC（如下图所示）的方程为 y=x2sin⁡xy = x^2 \sin x，−π≤x≤π-\pi \le x \le \pi。 计算由 CC 和 xx 轴所围成的区域 RR 的精确面积。 绘制方程为 (y+1)2−4(x+2)2=1(y + 1)^2 - 4(x + 2)^2 = 1…
  49. 49使用换元 t=ext = e^{x} 证明 ∫e2xtan⁡−1(ex) dx=∫ttan⁡−1(t) dt\int e^{2x}\tan^{-1}\left(e^{x}\right)\,dx = \int t\tan^{-1}(t)\,dt。 由此求出 ∫01e2xtan⁡−1(ex) dx\displaystyle \int_{0}^{1} e^{2x}\tan^{-1}\left(e^{x}\right)\,dx…